A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে 10$\times$10^-6C ও 5$\times$10^-6C আধান আছে। AB এর মধ্যবিন্দু C হতে D বিন্দুর দূরত্ব 20cm। B বিন্দুর আধান C বিন্দুতে আনা হলো।

একটি বিচ্ছিন্ন গোলাকার পরিবাহীর ধারকত্ব তার ব্যাসার্ধের সরাসরি সমানুপাতিক। অর্থাৎ, গোলাকার পরিবাহীর ধারকত্ব \(C\) এবং এর ব্যাসার্ধ \(R\) এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো \(C = 4\pi\epsilon_0 R\), যেখানে \(\epsilon_0\) হলো শূন্যস্থানের ভেদনযোগ্যতা (permittivity of free space)।

এই সম্পর্ক থেকে বোঝা যায় যে, পরিবাহীর ব্যাসার্ধ যত বেশি হবে, তার ধারকত্বও তত বেশি হবে। এর কারণ হলো, একটি বৃহত্তর ব্যাসার্ধের পরিবাহীতে আধান বেশি স্থান জুড়ে বিস্তৃত হতে পারে, ফলে একই পরিমাণ আধানের জন্য এর পৃষ্ঠের বিভব (potential) কম হয়। যেহেতু ধারকত্ব \(C = Q/V\) (আধান/বিভব), বিভব কম হলে ধারকত্ব বৃদ্ধি পায়, যা আরও বেশি আধান ধারণ করার ক্ষমতা নির্দেশ করে।

উদ্দীপক অনুসারে, A বিন্দুতে \(q_A = 10 \times 10^{-6}\)C আধান এবং B বিন্দুতে ছিল \(q_B = 5 \times 10^{-6}\)C আধান। সমস্যা অনুযায়ী, B বিন্দুর আধান \(q_B\) কে C বিন্দুতে আনা হয়েছে। ফলে, এখন C বিন্দুতে আধান \(q_C = 5 \times 10^{-6}\)C। D বিন্দুতে এই আধানদ্বয়ের (A ও C বিন্দুর) জন্য সৃষ্ট মোট তড়িৎ প্রাবল্য (Electric Field Intensity) নির্ণয় করতে হবে। কোনো বিন্দু আধানের জন্য r দূরত্বে তড়িৎ প্রাবল্য নির্ণয়ের সূত্র হলো, \(E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} = k \frac{q}{r^2}\), যেখানে \(k = 9 \times 10^9 Nm^2/C^2\) হলো কুলম্ব ধ্রুবক। তড়িৎ প্রাবল্য একটি ভেক্টর রাশি হওয়ায়, D বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্য নির্ণয়ের জন্য ভেক্টর যোগের নিয়ম ব্যবহার করতে হবে।

চিত্রানুসারে, AB এর দৈর্ঘ্য 40 cm, এবং C হলো AB এর মধ্যবিন্দু। অতএব, AC = BC = 40/2 = 20 cm = 0.2 m। C থেকে D বিন্দুর দূরত্ব CD = 20 cm = 0.2 m। A ও D বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (AD): ত্রিভুজ ACD একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার \(\angle ACD = 90^\circ\)। \(\text{AD} = \sqrt{\text{AC}^2 + \text{CD}^2} = \sqrt{(0.2)^2 + (0.2)^2} = \sqrt{0.04 + 0.04} = \sqrt{0.08} = 0.2\sqrt{2} \approx 0.2828\) m। এখন, A বিন্দুতে অবস্থিত আধান \(q_A\) এর জন্য D বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য \(E_A\): \(E_A = k \frac{q_A}{\text{AD}^2} = (9 \times 10^9) \frac{10 \times 10^{-6}}{(0.2\sqrt{2})^2} = (9 \times 10^9) \frac{10 \times 10^{-6}}{0.08} = 1.125 \times 10^6 N/C\)। \(E_A\) এর দিক হবে AD বরাবর A থেকে D এর দিকে (যেহেতু \(q_A\) ধনাত্মক)। C বিন্দুতে অবস্থিত আধান \(q_C\) এর জন্য D বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য \(E_C\): \(E_C = k \frac{q_C}{\text{CD}^2} = (9 \times 10^9) \frac{5 \times 10^{-6}}{(0.2)^2} = (9 \times 10^9) \frac{5 \times 10^{-6}}{0.04} = 1.125 \times 10^6 N/C\)। \(E_C\) এর দিক হবে CD বরাবর C থেকে D এর দিকে (উল্লম্বভাবে উপরের দিকে)। ত্রিভুজ ACD সমকোণী এবং AC = CD হওয়ায় \(\angle CAD = \angle CDA = 45^\circ\)। \(E_C\) উল্লম্ব (vertical) বরাবর এবং \(E_A\) AD বরাবর ক্রিয়া করে। \(E_C\) এবং \(E_A\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha = 90^\circ - \angle CDA = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)। D বিন্দুতে মোট তড়িৎ প্রাবল্য (Resultant Electric Field) \(E_R = \sqrt{E_A^2 + E_C^2 + 2E_A E_C \cos\alpha}\)। যেহেতু \(E_A = E_C = 1.125 \times 10^6 N/C\), ধরি \(E_0 = 1.125 \times 10^6 N/C\)। \(E_R = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2 \cos 45^\circ} = \sqrt{2E_0^2 + 2E_0^2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2E_0^2 (1 + \frac{1}{\sqrt{2}})}\) \(E_R = E_0 \sqrt{2 + \sqrt{2}} = (1.125 \times 10^6) \sqrt{2 + 1.414} = (1.125 \times 10^6) \sqrt{3.414}\) \(E_R \approx (1.125 \times 10^6) \times 1.8477 \approx 2.0786 \times 10^6 N/C\)।

অতএব, উদ্দীপকের D বিন্দুর মোট তড়িৎ প্রাবল্য (Electric Field Intensity) এর মান প্রায় \(2.0786 \times 10^6 N/C\)। যেহেতু \(E_A\) এবং \(E_C\) এর মান সমান, তাই লব্ধি প্রাবল্য তাদের মধ্যবর্তী কোণ (\(45^\circ\)) কে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। অর্থাৎ, লব্ধি প্রাবল্য \(E_C\) এর দিক (উল্লম্ব) এর সাথে \(22.5^\circ\) কোণ করে A বিন্দুর দিকে ঝুঁকে থাকবে।

তড়িৎ ক্ষেত্রে একটি আধানকে এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে সরাতে কৃতকার্য নির্ণয় করতে হলে ঐ বিন্দুদ্বয়ের বিভব পার্থক্য জানতে হয়। বাহ্যিক বল দ্বারা কৃতকার্য ধনাত্মক হলে বুঝতে হবে আধানকে সরাতে তড়িৎ ক্ষেত্রের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়েছে এবং তড়িৎ ক্ষেত্র এক্ষেত্রে ঋণাত্মক কাজ করেছে। আর যদি কৃতকার্য ঋণাত্মক হয়, তাহলে বুঝতে হবে তড়িৎ ক্ষেত্র নিজেই ধনাত্মক কাজ করেছে এবং বাহ্যিক বলের প্রয়োজন হয়নি বা বাহ্যিক বল ঋণাত্মক কাজ করেছে। উদ্দীপকের B বিন্দুর আধানকে C বিন্দুতে সরাতে বাহ্যিক বল দ্বারা কার্য সম্পাদন হবে না কি তড়িৎ ক্ষেত্র নিজেই কাজ করবে তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হলো।

উদ্দীপক অনুসারে, A বিন্দুতে \(q_A = 10 \times 10^{-6} \text{ C}\) এবং B বিন্দুতে \(q_B = 5 \times 10^{-6} \text{ C}\) আধান আছে। A ও B বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(AB = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}\)। C বিন্দু AB এর মধ্যবিন্দু, সুতরাং \(AC = BC = \frac{AB}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \text{ m}\)। এখন, B বিন্দুর আধান \(q_B\) কে C বিন্দুতে আনা হবে। এক্ষেত্রে A বিন্দুর আধান \(q_A\) একটি তড়িৎ ক্ষেত্র তৈরি করবে এবং এই তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রভাবে B বিন্দুর আধান \(q_B\) B থেকে C তে যেতে যে কাজ হবে, তা নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে তড়িৎ বিভবের সূত্র \(V = k \frac{q}{r}\) এবং কৃতকার্যের সূত্র \(W = q \Delta V\) ব্যবহার করা হবে। এখানে \(k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2\)।

প্রথমে, A বিন্দুর আধান \(q_A\) এর জন্য B বিন্দুর বিভব \(V_B\) এবং C বিন্দুর বিভব \(V_C\) নির্ণয় করি:

B বিন্দুর বিভব \(V_B\):

\[V_B = k \frac{q_A}{AB}\]

\[V_B = (9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2) \times \frac{(10 \times 10^{-6} \text{ C})}{0.4 \text{ m}}\]

\[V_B = 2.25 \times 10^5 \text{ V}\]

C বিন্দুর বিভব \(V_C\):

\[V_C = k \frac{q_A}{AC}\]

\[V_C = (9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2) \times \frac{(10 \times 10^{-6} \text{ C})}{0.2 \text{ m}}\]

\[V_C = 4.5 \times 10^5 \text{ V}\]

এখন, B বিন্দুর আধান \(q_B\) কে B থেকে C বিন্দুতে আনতে বাহ্যিক বল দ্বারা কৃতকার্য \(W_{ext}\) নির্ণয় করি:

\[W_{ext} = q_B (V_C - V_B)\]

\[W_{ext} = (5 \times 10^{-6} \text{ C}) (4.5 \times 10^5 \text{ V} - 2.25 \times 10^5 \text{ V})\]

\[W_{ext} = (5 \times 10^{-6} \text{ C}) (2.25 \times 10^5 \text{ V})\]

\[W_{ext} = 1.125 \text{ J}\]

গণনা করে দেখা যাচ্ছে, B বিন্দুর আধানকে C বিন্দুতে আনতে বাহ্যিক বল দ্বারা কৃতকার্য \(W_{ext} = 1.125 \text{ J}\), যা একটি ধনাত্মক মান। যেহেতু কৃতকার্যের মান ধনাত্মক, এর অর্থ হলো আধানটিকে B থেকে C বিন্দুতে সরাতে তড়িৎ ক্ষেত্রের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়েছে। A বিন্দুর আধানটিও ধনাত্মক এবং B বিন্দুর আধানটিও ধনাত্মক। একই ধরনের আধান পরস্পরকে বিকর্ষণ করে। A বিন্দুর আধান \(q_A\) কর্তৃক C বিন্দুর আধান \(q_B\) এর উপর বিকর্ষণ বল প্রয়োগ হবে। এই বিকর্ষণ বলের বিরুদ্ধে আধানটিকে সরাতে বাহ্যিক বল প্রয়োগ করতে হবে এবং এই বাহ্যিক বলই ধনাত্মক কাজ করবে। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে তড়িৎ ক্ষেত্র নিজে কোনো কাজ করবে না, বরং বাহ্যিক বল দ্বারা কার্য সম্পাদন হবে।