দেওয়া আছে,
A + B + C = `\(\pi\)` .....(i)
Q = cot A + cot B + cot C .....(ii)
এবং `\(Q^2 = 3\)` .....(iii)
প্রমাণ করতে হবে যে, A = B = C
ধাপ ১: প্রদত্ত শর্ত A + B + C = `\(\pi\)` থেকে সম্পর্ক নির্ণয়।
সমীকরণ (i) থেকে পাই,
B + C = `\(\pi\)` - A
উভয় পাশে cot নিয়ে,
`\(\cot (B + C) = \cot (\pi - A)\)`
`\(\frac{\cot B \cot C - 1}{\cot B + \cot C} = -\cot A\)`
`\(\cot B \cot C - 1 = -\cot A (\cot B + \cot C)\)`
`\(\cot B \cot C - 1 = -\cot A \cot B - \cot A \cot C\)`
`\(\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1\)` .....(iv)
ধাপ ২: `\(Q^2 = 3\)` শর্ত ব্যবহার করে একটি নতুন সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা।
দেওয়া আছে, `\(Q = \cot A + \cot B + \cot C\)`
এবং `\(Q^2 = 3\)`
সুতরাং, `\((\cot A + \cot B + \cot C)^2 = 3\)`
আমরা জানি, `\((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)\)`
এই সূত্র ব্যবহার করে পাই,
`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C + 2(\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A) = 3\)`
সমীকরণ (iv) থেকে `\((\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A)\)` এর মান `\(1\)` বসিয়ে পাই,
`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C + 2(1) = 3\)`
`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C + 2 = 3\)`
`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C = 3 - 2\)`
`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C = 1\)` .....(v)
ধাপ ৩: A = B = C প্রমাণ করা।
আমরা জানি যে, যদি `\(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0\)` হয়, তবে `\(x = y = z\)` হয়।
এই সম্পর্কটি অন্যভাবেও লেখা যায়:
`\((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)\)`
যদি `\((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0\)` হয়, তাহলে `\(x = y = z\)` হবে।
এবার `\(\cot A, \cot B, \cot C\)` এর ক্ষেত্রে এই ধারণাটি প্রয়োগ করি।
`\((\cot A - \cot B)^2 + (\cot B - \cot C)^2 + (\cot C - \cot A)^2\)`
`\(= (\cot^2 A - 2 \cot A \cot B + \cot^2 B) + (\cot^2 B - 2 \cot B \cot C + \cot^2 C) + (\cot^2 C - 2 \cot C \cot A + \cot^2 A)\)`
`\(= 2(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C) - 2(\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A)\)`
সমীকরণ (v) থেকে `\((\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C) = 1\)` এবং সমীকরণ (iv) থেকে `\((\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A) = 1\)` বসিয়ে পাই,
`\(= 2(1) - 2(1)\)`
`\(= 2 - 2\)`
`\(= 0\)`
সুতরাং, `\((\cot A - \cot B)^2 + (\cot B - \cot C)^2 + (\cot C - \cot A)^2 = 0\)`
যেহেতু কয়েকটি বর্গের সমষ্টি শূন্য, তাই প্রতিটি বর্গ শূন্য হতে হবে (কারণ বর্গের মান ঋণাত্মক হতে পারে না)।
অতএব,
`\((\cot A - \cot B)^2 = 0 \implies \cot A - \cot B = 0 \implies \cot A = \cot B\)`
`\((\cot B - \cot C)^2 = 0 \implies \cot B - \cot C = 0 \implies \cot B = \cot C\)`
`\((\cot C - \cot A)^2 = 0 \implies \cot C - \cot A = 0 \implies \cot C = \cot A\)`
এ থেকে আমরা পাই `\(\cot A = \cot B = \cot C\)`।
যেহেতু A, B, C একটি ত্রিভুজের কোণ এবং A + B + C = `\(\pi\)` (বা `\(180^\circ\)`), তাই `\(A, B, C \in (0, \pi)\)`। এই সীমার মধ্যে `\(\cot x\)` ফাংশনটি এক-এক (one-to-one)।
সুতরাং, যদি `\(\cot A = \cot B = \cot C\)` হয়, তবে `\(A = B = C\)` হবে।
প্রমাণিত।
Related Question
View Allপ্রমাণ:
বামপক্ষ (LHS) =
=
=
আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিক সূত্র অনুযায়ী:
এখানে এবং ।
সুতরাং,
=
=
=
আমরা জানি, দ্বিগুণ কোণের ত্রিকোণমিতিক সূত্র অনুযায়ী:
সুতরাং,
অতএব, বামপক্ষ =
=
=
= ডানপক্ষ (RHS)
সুতরাং, (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে,
\[ P = \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} - \tan \beta \]
এবং,
\[ P = 0 \]
সুতরাং,
\[ \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} - \tan \beta = 0 \]
\[ \tan \beta = \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]
আমরা জানি, \( \tan(\alpha - \beta) \) এর সূত্র হলো:
\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \]
এখন, \( \tan \beta \)-এর মান বসিয়ে পাই,
\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha}}{1 + \tan \alpha \left(\frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha}\right)} \]
লব (Numerator)-কে সরল করে পাই:
\[ \text{লব} = \tan \alpha - \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]
\[ = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]
\[ = \frac{\sin \alpha (1 - n \sin^2 \alpha) - n \sin \alpha \cos^2 \alpha}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]
\[ = \frac{\sin \alpha - n \sin^3 \alpha - n \sin \alpha \cos^2 \alpha}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]
\[ = \frac{\sin \alpha - n \sin \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]
যেহেতু \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \),
\[ = \frac{\sin \alpha - n \sin \alpha}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]
\[ = \frac{\sin \alpha (1 - n)}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]
\[ = \frac{(1 - n) \tan \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]
হর (Denominator)-কে সরল করে পাই:
\[ \text{হর} = 1 + \tan \alpha \left(\frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha}\right) \]
\[ = 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \times \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]
\[ = 1 + \frac{n \sin^2 \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]
\[ = \frac{1 - n \sin^2 \alpha + n \sin^2 \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]
\[ = \frac{1}{1 - n \sin^2 \alpha} \]
অতএব, \( \tan(\alpha - \beta) \) এর মান হবে লব ও হরের ভাগফল:
\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{(1 - n) \tan \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha}}{\frac{1}{1 - n \sin^2 \alpha}} \]
\[ \tan(\alpha - \beta) = (1 - n) \tan \alpha \]
(প্রমাণিত)
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
