$p=\frac{n\sin \alpha \cos \alpha }{1-nsi{n}^2\alpha }-tan\beta$

Q = cot A + cot B + cot C

প্রমাণ:

বামপক্ষ (LHS) = $sec\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} + \theta \right) .sec\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} - \theta \right)$

= $\frac{1}{cos\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} + \theta \right)} . \frac{1}{cos\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} - \theta \right)}$

= $\frac{1}{cos\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} + \theta \right)cos\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} - \theta \right)}$

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিক সূত্র অনুযায়ী:

$cos(A+B)cos(A-B) = co{s}^{2}A - si{n}^{2}B$

এখানে $A = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ এবং $B = \theta$।

সুতরাং,

$cos\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} + \theta \right)cos\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} - \theta \right) = co{s}^2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) - si{n}^2\theta$

= ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2 - si{n}^2\theta$

= $12 - si{n}^2\theta$

= $1 - 2si{n}^2\theta 2$

আমরা জানি, দ্বিগুণ কোণের ত্রিকোণমিতিক সূত্র অনুযায়ী:

$cos 2\theta = 1 - 2si{n}^2\theta$

সুতরাং,

$cos\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} + \theta \right)cos\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} - \theta \right) = \frac{cos 2\theta }{2}$

অতএব, বামপক্ষ = $\frac{1}{\frac{cos 2\theta }{2}}$

= $\frac{2}{cos 2\theta }$

= $2sec 2\theta$

= ডানপক্ষ (RHS)

সুতরাং, $sec\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} + \theta \right) .sec\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4} - \theta \right) = 2sec 2\theta$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

\[ P = \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} - \tan \beta \]

এবং,

\[ P = 0 \]

সুতরাং,

\[ \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} - \tan \beta = 0 \]

\[ \tan \beta = \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]

আমরা জানি, \( \tan(\alpha - \beta) \) এর সূত্র হলো:

\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \]

এখন, \( \tan \beta \)-এর মান বসিয়ে পাই,

\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha}}{1 + \tan \alpha \left(\frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha}\right)} \]

লব (Numerator)-কে সরল করে পাই:

\[ \text{লব} = \tan \alpha - \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]

\[ = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]

\[ = \frac{\sin \alpha (1 - n \sin^2 \alpha) - n \sin \alpha \cos^2 \alpha}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]

\[ = \frac{\sin \alpha - n \sin^3 \alpha - n \sin \alpha \cos^2 \alpha}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]

\[ = \frac{\sin \alpha - n \sin \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]

যেহেতু \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \),

\[ = \frac{\sin \alpha - n \sin \alpha}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]

\[ = \frac{\sin \alpha (1 - n)}{\cos \alpha (1 - n \sin^2 \alpha)} \]

\[ = \frac{(1 - n) \tan \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]

হর (Denominator)-কে সরল করে পাই:

\[ \text{হর} = 1 + \tan \alpha \left(\frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha}\right) \]

\[ = 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \times \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]

\[ = 1 + \frac{n \sin^2 \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]

\[ = \frac{1 - n \sin^2 \alpha + n \sin^2 \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha} \]

\[ = \frac{1}{1 - n \sin^2 \alpha} \]

অতএব, \( \tan(\alpha - \beta) \) এর মান হবে লব ও হরের ভাগফল:

\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{(1 - n) \tan \alpha}{1 - n \sin^2 \alpha}}{\frac{1}{1 - n \sin^2 \alpha}} \]

\[ \tan(\alpha - \beta) = (1 - n) \tan \alpha \]

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

A + B + C = `\(\pi\)` .....(i)

Q = cot A + cot B + cot C .....(ii)

এবং `\(Q^2 = 3\)` .....(iii)

প্রমাণ করতে হবে যে, A = B = C

ধাপ ১: প্রদত্ত শর্ত A + B + C = `\(\pi\)` থেকে সম্পর্ক নির্ণয়।

সমীকরণ (i) থেকে পাই,

B + C = `\(\pi\)` - A

উভয় পাশে cot নিয়ে,

`\(\cot (B + C) = \cot (\pi - A)\)`

`\(\frac{\cot B \cot C - 1}{\cot B + \cot C} = -\cot A\)`

`\(\cot B \cot C - 1 = -\cot A (\cot B + \cot C)\)`

`\(\cot B \cot C - 1 = -\cot A \cot B - \cot A \cot C\)`

`\(\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1\)` .....(iv)

ধাপ ২: `\(Q^2 = 3\)` শর্ত ব্যবহার করে একটি নতুন সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা।

দেওয়া আছে, `\(Q = \cot A + \cot B + \cot C\)`

এবং `\(Q^2 = 3\)`

সুতরাং, `\((\cot A + \cot B + \cot C)^2 = 3\)`

আমরা জানি, `\((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)\)`

এই সূত্র ব্যবহার করে পাই,

`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C + 2(\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A) = 3\)`

সমীকরণ (iv) থেকে `\((\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A)\)` এর মান `\(1\)` বসিয়ে পাই,

`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C + 2(1) = 3\)`

`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C + 2 = 3\)`

`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C = 3 - 2\)`

`\(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C = 1\)` .....(v)

ধাপ ৩: A = B = C প্রমাণ করা।

আমরা জানি যে, যদি `\(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0\)` হয়, তবে `\(x = y = z\)` হয়।

এই সম্পর্কটি অন্যভাবেও লেখা যায়:

`\((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)\)`

যদি `\((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0\)` হয়, তাহলে `\(x = y = z\)` হবে।

এবার `\(\cot A, \cot B, \cot C\)` এর ক্ষেত্রে এই ধারণাটি প্রয়োগ করি।

`\((\cot A - \cot B)^2 + (\cot B - \cot C)^2 + (\cot C - \cot A)^2\)`

`\(= (\cot^2 A - 2 \cot A \cot B + \cot^2 B) + (\cot^2 B - 2 \cot B \cot C + \cot^2 C) + (\cot^2 C - 2 \cot C \cot A + \cot^2 A)\)`

`\(= 2(\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C) - 2(\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A)\)`

সমীকরণ (v) থেকে `\((\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C) = 1\)` এবং সমীকরণ (iv) থেকে `\((\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A) = 1\)` বসিয়ে পাই,

`\(= 2(1) - 2(1)\)`

`\(= 2 - 2\)`

`\(= 0\)`

সুতরাং, `\((\cot A - \cot B)^2 + (\cot B - \cot C)^2 + (\cot C - \cot A)^2 = 0\)`

যেহেতু কয়েকটি বর্গের সমষ্টি শূন্য, তাই প্রতিটি বর্গ শূন্য হতে হবে (কারণ বর্গের মান ঋণাত্মক হতে পারে না)।

অতএব,

`\((\cot A - \cot B)^2 = 0 \implies \cot A - \cot B = 0 \implies \cot A = \cot B\)`

`\((\cot B - \cot C)^2 = 0 \implies \cot B - \cot C = 0 \implies \cot B = \cot C\)`

`\((\cot C - \cot A)^2 = 0 \implies \cot C - \cot A = 0 \implies \cot C = \cot A\)`

এ থেকে আমরা পাই `\(\cot A = \cot B = \cot C\)`।

যেহেতু A, B, C একটি ত্রিভুজের কোণ এবং A + B + C = `\(\pi\)` (বা `\(180^\circ\)`), তাই `\(A, B, C \in (0, \pi)\)`। এই সীমার মধ্যে `\(\cot x\)` ফাংশনটি এক-এক (one-to-one)।

সুতরাং, যদি `\(\cot A = \cot B = \cot C\)` হয়, তবে `\(A = B = C\)` হবে।

প্রমাণিত।