A number consists of 3 digits whose sum is 10. The middle digit is equal to the sum of the other two and the number will be increased by 99 if these two digits are reversed. What is the number?

ধরি,

সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কটি = \( x \)
এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি = \( y \)

সুতরাং, সংখ্যাটি = \( 10x + y \)

১ম শর্তানুসারে,
\(\frac{10x + y}{xy} = 3\)
\(\Rightarrow 10x + y = 3xy\) ...... (i)

২য় শর্তানুসারে,
\(10x + y + 18 = 10y + x\)
\(\Rightarrow 10x - x + y - 10y = -18\)
\(\Rightarrow 9x - 9y = -18\)
\(\Rightarrow 9(x - y) = -18\)
\(\Rightarrow x - y = -2\)
\(\Rightarrow y = x + 2\) ...... (ii)

এখন, \( y \)-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই—
\(10x + (x + 2) = 3x(x + 2)\)
\(\Rightarrow 11x + 2 = 3x^2 + 6x\)
\(\Rightarrow 3x^2 + 6x - 11x - 2 = 0\)
\(\Rightarrow 3x^2 - 5x - 2 = 0\)
\(\Rightarrow 3x^2 - 6x + x - 2 = 0\)
\(\Rightarrow 3x(x - 2) + 1(x - 2) = 0\)
\(\Rightarrow (x - 2)(3x + 1) = 0\)

হয়, \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
অথবা, \( 3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \) (যা গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ কোনো সংখ্যার অঙ্ক ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না।)

সুতরাং, \( x = 2 \)

\( x \)-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই—
\( y = 2 + 2 = 4 \)

অতএব, নির্ণেয় সংখ্যাটি = \( 10x + y = 10 \times 2 + 4 = 20 + 4 = 24 \)

উত্তর: ২৪

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, দুই অঙ্ক বিশিষ্ট কোন সংখ্যা তার অঙ্ক দুটির যোগফলের 4 গুণ। অঙ্ক দুটিকে স্থান পরিবর্তন করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা মূল সংখ্যার চেয়ে 18 বেশি। মূল সংখ্যাটি কত?

Let, Tenth digit is x and unit digit is y

∴ The number = (10x + y)

According to first condition, $4(x + y) = 10x + y . . . . . . . . . . . . \left(i\right)$

And second condition, $(10x + y) + 18 = 10y + x . . . . . . . . . . . . . \left(ii\right)$

From equation (ii), $10x + y + 18 = 10y + x$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 9x-9y=-18 \\ \Rightarrow 9y-9x=18 [Multiplying by - 1] \\ \Rightarrow 9(y-x) = 18 \\ \Rightarrow (y-x) = \frac{18}{9} = 2 \\ \Rightarrow y-x = 2 \\ \therefore y = x+2 . . . . . . . . . \left(iii\right) \end{gathered}$$

From equation (i), we get $4(x + y) = 10x + y$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 4x+4y = 10x + y \\ \Rightarrow 3y = 6x \\ \Rightarrow y = 2x \\ \Rightarrow x+2 = 2x [Putting the value of y] \\ \therefore x = 2 \end{gathered}$$

Now, putting the value of x in equation (iii) we get

$$\begin{gathered} y= x+2 \\ \Rightarrow y = 2+2 = 4 \\ \therefore y = 4 \\ The number is (10x + y) = (10 \times 2)+4=20+4=24. ans. \end{gathered}$$

Let, unit digit is y and tenth digit is x

$\therefore$The number is (10x + y)

From 1st condition, 10x+y= 6(x + y).......(i)

And from 2nd condition, (10x + y) - (10y + x) = 9 ............... (ii)

Now, from equation (i)

10x + y = 6x + 6y

=4x = 5y

$\therefore$x = $\frac{5y}{4}$…………………(iii)

Now, putting the value of x in equation (ii)

10x + y - (10y + x) = 9

= 10x + y - 10y - x = 9

=9x - 9y = 9

=(x - y) $\times$ 9 = 9

=x - y = 1

=$\frac{5y}{4}$ - y = 1

= $\frac{5y-4y}{4}$ = 1

$\therefore$y = 4

Putting y = 4 in equation

(iii), we get

$\therefore$x$\frac{5\times 4}{4}=5$

$\therefore$The original number is 10x + y = (10 $\times$ 5) + 4 = 50 + 4 = 54 (answer)

Let the unit digit is b and tenth dight is a So the number = 10a + b

According to first condition, a + b = 16 ........(i)

According to second condition, 

10a + b + 18 = 10b + a

= 10b + a - 10a - b = 18

= 9b - 9a = 18

= b - a = 2 ........ (ii)

By adding equation (i) and (ii),

a + b + b - a = 16 + 2

= 2b = 18

= b = 9

From equation (i),

a + b = 16

= a + 9 = 16

= a = 7

The original number 

= 10a + b

= $10 \times 7$ + 9

= 79 (Answer)

ধরি, দুই অংকবিশিষ্ট সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্কটি \(y\) এবং দশকের ঘরের অঙ্কটি \(x\)।

সুতরাং, সংখ্যাটি হবে \(10x + y\)।

প্রথম শর্তানুযায়ী:

অঙ্কগুলোর যোগফল \( (x+y) \)-এর সাথে ৭ যোগ করলে তা দশকের অঙ্ক \(x \)-এর তিনগুণ হবে।

\(x + y + 7 = 3x \)

\(y + 7 = 3x - x \)

\(y + 7 = 2x \)

\(y = 2x - 7 \quad \ldots (1)\)

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী:

সংখ্যাটি থেকে ৯ বিয়োগ করলে অঙ্কগুলোর স্থান পরিবর্তন হয়ে যায়।

অর্থাৎ, সংখ্যাটি হবে \(10y + x \)

\(10x + y - 9 = 10y + x \)

\(10x - x - 9 = 10y - y \)

\(9x - 9 = 9y \)

উভয়পক্ষকে ৯ দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(x - 1 = y \quad \ldots (2)\)

এখন, (2) নং সমীকরণ থেকে \(y\)-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(x - 1 = 2x - 7 \)

\(7 - 1 = 2x - x \)

\(6 = x \)

\(x = 6 \)

\(x\)-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে \(y\)-এর মান নির্ণয় করি:

\(y = x - 1 \)

\(y = 6 - 1 \)

\(y = 5 \)

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো \(10x + y = 10(6) + 5 = 60 + 5 = 65 \)

অতএব, সংখ্যাটি হলো 65।