$A = \left[\begin{array}{ccc}p& p+1& p+1\\ p+1& p& p+1\\ p+1& p+1& p\end{array}\right]$ 

দেওয়া আছে, ম্যাট্রিক্স A = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \) এবং B = \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)। প্রথমে AB নির্ণয় করা যাক। ম্যাট্রিক্স A এর ক্রম 1x3 এবং B এর ক্রম 3x1। যেহেতু প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা (3) এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা (3) সমান, তাই তাদের গুণফল একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।

অতএব, AB = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3) + (2 \times 2) + (3 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} \)।

এখন, (AB)^t নির্ণয় করতে হবে। যেকোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (Transposed Matrix) হলো তার সারিগুলোকে কলামে এবং কলামগুলোকে সারিতে রূপান্তর করা। যেহেতু AB একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স যা শুধুমাত্র একটি উপাদান নিয়ে গঠিত, তাই এর ট্রান্সপোজ করলে ম্যাট্রিক্সটি নিজেই অপরিবর্তিত থাকে।

সুতরাং, (AB)^t = \( \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} ^t = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} \)।

দেওয়া আছে, দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট:

\(x + y + z = 1 \quad \ldots(1)\)

\(x + 2y + z = 2 \quad \ldots(2)\)

\(x + y + 2z = 0 \quad \ldots(3)\)

নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধানের জন্য, সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(D\) নির্ণয় করি:

\(= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)\)

\(= 1(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2)\)

\(= 1(3) - 1(1) + 1(-1)\)

\(= 3 - 1 - 1\)

\(= 1\)

এখন, \(x\) এর মান নির্ণয়ের জন্য \(D_x\) নির্ণয় করি (প্রথম কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\(= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(2 \times 2 - 1 \times 0) + 1(2 \times 1 - 2 \times 0)\)

\(= 1(4 - 1) - 1(4 - 0) + 1(2 - 0)\)

\(= 1(3) - 1(4) + 1(2)\)

\(= 3 - 4 + 2\)

\(= 1\)

\(\therefore x = \frac{D_x}{D} = \frac{1}{1} = 1\)

এরপর, \(y\) এর মান নির্ণয়ের জন্য \(D_y\) নির্ণয় করি (দ্বিতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\(= 1(2 \times 2 - 1 \times 0) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 0 - 2 \times 1)\)

\(= 1(4 - 0) - 1(2 - 1) + 1(0 - 2)\)

\(= 1(4) - 1(1) + 1(-2)\)

\(= 4 - 1 - 2\)

\(= 1\)

\(\therefore y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{1} = 1\)

সবশেষে, \(z\) এর মান নির্ণয়ের জন্য \(D_z\) নির্ণয় করি (তৃতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\(= 1(2 \times 0 - 2 \times 1) - 1(1 \times 0 - 2 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)\)

\(= 1(0 - 2) - 1(0 - 2) + 1(1 - 2)\)

\(= 1(-2) - 1(-2) + 1(-1)\)

\(= -2 + 2 - 1\)

\(= -1\)

\(\therefore z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{1} = -1\)

অতএব, নির্ণয় সমাধান: \(x = 1, y = 1, z = -1\)

দেওয়া আছে,

D = \(8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}\)

এবং S = p+q+r

বামপক্ষ,

D = \(8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}\)

প্রথম সারির উপাদানগুলোকে পুনরায় সাজাই:

\(p-q-r = p+q+r - 2q - 2r = S - 2(q+r)\)

\(q-r-p = p+q+r - 2r - 2p = S - 2(r+p)\)

\(r-p-q = p+q+r - 2p - 2q = S - 2(p+q)\)

এখন, ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিতে \(R_1 \to R_1 + R_2 + R_3\) প্রয়োগ করে পাই:

\(R_1 = \left( \frac{p-q-r}{2} + q + r, \ p + \frac{q-r-p}{2} + r, \ p + q + \frac{r-p-q}{2} \right)\)

\(R_1 = \left( \frac{p-q-r+2q+2r}{2}, \ \frac{2p+q-r-p+2r}{2}, \ \frac{2p+2q+r-p-q}{2} \right)\)

\(R_1 = \left( \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2} \right)\)

\(R_1 = \left( \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2} \right)\)

সুতরাং, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = \(8 \begin{vmatrix} \frac{S}{2} & \frac{S}{2} & \frac{S}{2} \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}\)

প্রথম সারি থেকে \(\frac{S}{2}\) কমন নিয়ে পাই:

D = \(8 \cdot \frac{S}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}\)

D = \(4S \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}\)

এখন, \(C_2 \to C_2 - C_1\) এবং \(C_3 \to C_3 - C_1\) কলাম অপারেশন প্রয়োগ করি:

\(C_2' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ \frac{q-r-p}{2} - q \\ r-r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{q-r-p-2q}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-q-r-p}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{S}{2} \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(C_3' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ q-q \\ \frac{r-p-q}{2} - r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{r-p-q-2r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{-p-q-r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{S}{2} \end{pmatrix}\)

অতএব, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = \(4S \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ q & -\frac{S}{2} & 0 \\ r & 0 & -\frac{S}{2} \end{vmatrix}\)

এটি একটি নিম্ন ত্রিভুজাকার নির্ণায়ক, যার মান প্রধান কর্ণ বরাবর উপাদানগুলোর গুণফলের সমান:

D = \(4S \left( 1 \cdot (-\frac{S}{2}) \cdot (-\frac{S}{2}) \right)\)

D = \(4S \left( \frac{S^2}{4} \right)\)

D = \(S^3\)

সুতরাং, D = S³ (প্রমাণিত)।