A tank can be filled by a tap in 20 minutes and by another tap in 60 minutes. Both the taps are kept open for 10 minutes and then the first tap is shut off. After this, the tank will be completely filled in what time?

(Pipe & Cistern)

প্রথম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = \( \frac{1}{p} \) অংশ

দ্বিতীয় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = \( \frac{1}{q} \) অংশ

তৃতীয় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় = \( \frac{1}{r} \) অংশ

যখন তিনটি নল একসঙ্গে খোলা থাকে, তখন ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = \( \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} - \frac{1}{r} \right) \) অংশ

= \( \left( \frac{qr + pr - pq}{pqr} \right) \) অংশ

৩য় নলটি s মিনিট পর বন্ধ করা হয়। সুতরাং, প্রথম s মিনিটে পিপাটি পূর্ণ হয় = \( s \times \left( \frac{qr + pr - pq}{pqr} \right) \) অংশ

এখন, পিপাটির অবশিষ্ট অংশ যা পূর্ণ করতে হবে = \( 1 - s \times \left( \frac{qr + pr - pq}{pqr} \right) \)

= \( \frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{pqr} \) অংশ

৩য় নলটি বন্ধ করার পর, পিপাটি প্রথম দুটি নল দ্বারা পূর্ণ হবে। প্রথম দুটি নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = \( \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \right) \) অংশ

= \( \left( \frac{q+p}{pq} \right) \) অংশ

অবশিষ্ট অংশ পূর্ণ করতে প্রথম দুটি নলের সময় লাগবে = \( \frac{\text{অবশিষ্ট অংশ}}{\text{১ মিনিটে পূর্ণ করা অংশ}} \)

= \( \frac{\frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{pqr}}{\frac{q+p}{pq}} \) মিনিট

= \( \frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{pqr} \times \frac{pq}{q+p} \) মিনিট

= \( \frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{r(q+p)} \) মিনিট

অতএব, পিপাটি মোট পূর্ণ হতে সময় লাগবে = (প্রথম s মিনিট + অবশিষ্ট অংশ পূর্ণ করতে লাগা সময়)

= \( s + \frac{pqr - s(qr + pr - pq)}{r(q+p)} \) মিনিট

ধরি, চৌবাচ্চায় এক্স x মিটার পানি ধরে।

১ম নল দ্বারা,

১০ মিনিটে পূর্ণ হয় = x লিটার

∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{x}{১০}$ লিটার

এখন, উভয় নল চললে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{x}{১০} -১২ = \frac{x -১২০}{১০}$ লিটার

∴ উভয় নল চললে ৯০ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{x-১২০}{১০} \times ৯০ = ৯ \left(x -১২০\right)$লিটার

প্রশ্নমতে,  x = ৯(x – ১২০)

$$\begin{gathered} \Rightarrow x = ৯x - ১০৮০ \\ \Rightarrow ৮x = ১০৮০ \\ \therefore x = \frac{১০৮০}{৮} = ১৩৫ \end{gathered}$$

অর্থাৎ চৌবাচ্চায় পানি ধরে ১৩৫ লিটার।

In 1 minute, first pipe can fill  $\frac{1}{12}$ part of tank.

Let, second pipe can empty the tank in x minutes.

∴ In 1 minute, it can empty  $\frac{1}{x}$ part of tank.

That means, the tank is filled in 1 minutes $\left(\frac{1}{12} - \frac{1}{x}\right)$ Part

According to question, $\frac{1}{12} - \frac{1}{x} = \frac{1}{96}$

$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{96} = \frac{8-1}{96} = \frac{7}{96}$

$\therefore x = \frac{96}{7} minutes$

∴ The tank contains $= 14 \times \frac{96}{7}$ = 192 liters.

Basin is filled by Ain 5 hours

$\therefore$In 1 hour, $\frac{1}{5}$part of Basin is filled

Similarly by ‘ B’ in 1 hour, $\frac{1}{8}$ part of Basin is filled

The both tap can fill in 1 hour =$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{8+5}{40}=\frac{13}{40}$ part of Basin

As, the leak can empty the fill Basin in 20 hours

$\therefore$ In 1 hour, the leak can empty $\frac{1}{20}$ part of Basin.

$\therefore$The amount of water remain in the Basin in 1 hour=$\frac{13}{40}-\frac{1}{20}=\frac{13-2}{40}=\frac{11}{40}$ part of Basin

Thus, while two taps are working,

$\frac{11}{40}$ of the Basin is filled in = 1 hour

$\therefore$ 1 or full part of the Basin is filled n = $\frac{1\times 40}{11}=\frac{40}{11}=3\frac{7}{11}$ hour

$(P + R + T) take 5 hours to fill up 1 \tan k$

$\therefore (P + R + T) take 1 hour to fill up \frac{1}{5} part of \tan k$

$Again, (P + R) take 7 hours to fill up 1 \tan k$

$\therefore (P + R) take 1 hour to fill up \frac{1}{7} part of \tan k$

$\therefore In 1 hour, T can fill up = (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}) =\frac{7-5}{35}=\frac{2}{35} part of \tan k$

$Now, \frac{2}{35} of \tan k is filled by T in 1 hour$

$\therefore 1 or complete part of \tan k is filled by T in = \frac{35\times 1}{2} =17\frac{1}{2} hours$

$$\begin{gathered} Let, the capacity of the \tan k be x liters. \\ By 1st pipe \\ In 15 minutes pipe fill=x part of the \tan k \\ \therefore In 1 minute pipe fill=\frac{x}{15} part of the \tan k \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} According to question, \\ 135(\frac{x}{15}-20)=x \\ =135\left(\frac{x-300}{15}\right)=x \\ =9(x-300)=x \\ =9x-2700=x \\ =8x=2700 \\ \therefore x=\frac{2700}{8}=337.5 liters \\ \therefore The capacity of the \tan k is 337.5 liters. \end{gathered}$$