$A(1, 4t)$ এবং $B(5, t^2 -1)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল $-1$ এবং $PQRS$ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে।

এখানে, $A(1, 4t)$ এবং $B(5,t^2-1)$ দুইটি বিন্দু এবং ঢাল, $m = - 1$

আমরা জানি,  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

বা, $-1=\frac{t^2-1-4t}{5-1}$

বা, $-1=\frac{t^2-4t-1}{4}$

বা, $t^2-4t-1=-4$

বা, $t^2-4t+3=0$

বা, $t^2-3t-t+3=0$

বা, $t (t -3) - (t -3) = 0$

বা, $(t - 3)(t - 1) = 0$

হয়, $t - 3 = 0$

$\therefore$ $t = 3$

অর্থবা, $t - 1 = 0$

$\therefore$ $t = 1$

অতএব, t এর মান 1 এবং 3.

t  এর মানদ্বয়ের জন্য প্রাপ্ত চারটি বিন্দু t = 3 এর জন্য (1, 12) এবং (5, 8)

আবার, t = 1 এর জন্য (1, 4) এবং (5,0)

বিন্দু চারটি XY সমতলে স্থাপন করে দেখানো হলো:

চিত্র হতে পাই, $C(1,12), D(1, 4), E(5, 0)$ এবং $F(5, 8)$ বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিক।

অতএব, CDEF চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 5& 5& 1\\ 12& 4& 0& 8& 12\end{array}\right|$

$= \frac{1}{2} (4 + 0 + 40 + 60 - 12-20- 0 - 8)$

$=\frac{1}{2}.64$

$=32$ বর্গ একক।

এখানে, CDEF চতুর্ভুজের,

CD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(4-12\right)}^2}$

$=\sqrt{0^2+8^2}$

$=8$

DE বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{\left(5-1\right)}^2+{\left(0-4\right)}^2}$

$=\sqrt{4^2+4^2}$

$=4\sqrt{2}$

EF বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{\left(5-5\right)}^2+{\left(8-0\right)}^2}$

$=\sqrt{0^2+8^2}$

$=8$

এবং FC বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{\left(1-5\right)}^2+{\left(12-8\right)}^2}$

$=\sqrt{4^2+4^2}$

$=4\sqrt{2}$

যেহেতু, CD = EF = 8 একক এবং DE = FC = $4\sqrt{2}$একক

অর্থাৎ বিপরীত বাহু সমান

অতএব, চতুর্ভুজটি আয়ত অথবা সামান্তরিক হবে।

এখানে, কর্ণ, CE $=\sqrt{{\left(5-1\right)}^2+{\left(0-12\right)}^2}$

$=\sqrt{4^2+{12}^2}$

$=\sqrt{16+144}$

$=\sqrt{160}$

$=4\sqrt{10}$

এবং কর্ণ, $DF=\sqrt{{(5-1)}^2+{(8-4)}^2}$

$=\sqrt{4^2+4^2}$

$=4\sqrt{2}$

যেহেতু কর্ণ CE $\ne$ কর্ণ DF.

অতএব, চতুভূর্জটি একটি সামান্তরিক।

মনে করি, PQRS সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় PR ও QS পরস্পর M বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ধরি,  $\overrightarrow{PM}=\underline{a}, \overrightarrow{QM}=\underline{b}. \overrightarrow{MR} =\underline{c}. \overrightarrow{MS}=\underline{d}$

প্রমাণ করতে হবে যে, $\left|\underline{a}\right|=\left|\underline{c}\right|$ এবং $\left|\underline{b}\right|=\left|\underline{d}\right|$

অর্থাৎ, $PM=MR$ এবং $QM = MS$

প্রমাণ: $∆PMS$ ও $∆QMR$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{PS}$

এবং $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{QR}$

যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল

সেহেতু $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{QR}$

অর্থাৎ $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{QM }+\overrightarrow{MR}$

বা, $\underline{a}+\underline{d}=\underline{b}+\underline{c}$

বা, $\underline{a}-\underline{c}=\underline{b}-\underline{d}$

এখানে,  $\underline{a}$ ও $\underline{c}$ এর ধারক PR

$\therefore$ $\underline{a}-\underline{c}$ এর ধারক PR

এবং $\underline{b}$ ও $\underline{d}$ এর ধারক QS

$\underline{b}-\underline{d}$ এর ধারক QS

$\underline{a}-\underline{c}$ ও $\underline{b}-\underline{d}$ দুইটি সমান অশূন্য ভেক্টর হলে তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। কিন্তু PR, QS দুইটি পরস্পরছেদী অসমান্তরাল সরলরেখা। সুতরাং $\underline{a}-\underline{c}$ ও $\underline{b}-\underline{d}$ ভেক্টরদ্বয় অশূন্য হতে পারে না। তাই এদের মান শূন্য হবে।

$\underline{a}-\underline{c=0}$ এবং $\underline{b}-\underline{d} =0$

বা,  $\left|\underline{a}\right|=\left|\underline{c}\right|$ এবং $\left|\underline{b}\right|=\left|\underline{d}\right|$

$\therefore$ PM = MR এবং QM = MS (প্রমাণিত)