$A^2-2A+3I$ নির্ণয় কর; যেখানে । একটি একক ম্যাট্রিক্স।

প্রদত্ত, \(a = 3\)

প্রশ্নোক্ত ম্যাট্রিক্সটি হলো:

\(P = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ -a+1 & -a \end{pmatrix}\)

\(a = 3\) বসিয়ে পাই:

\(P = \begin{pmatrix} 3 & 3+1 \\ -3+1 & -3 \end{pmatrix}\)

\(P = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}\)

একটি ম্যাট্রিক্স \(P\) অভেদঘাতি হবে যদি \(P^2 = P\) হয়।

এখন, আমরা \(P^2\) নির্ণয় করি:

\(P^2 = P \times P = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}\)

\(P^2 = \begin{pmatrix} (3 \times 3) + (4 \times -2) & (3 \times 4) + (4 \times -3) \\ (-2 \times 3) + (-3 \times -2) & (-2 \times 4) + (-3 \times -3) \end{pmatrix}\)

\(P^2 = \begin{pmatrix} 9 - 8 & 12 - 12 \\ -6 + 6 & -8 + 9 \end{pmatrix}\)

\(P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

যেহেতু \(P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) এবং \(P = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}\), এখানে \(P^2 \ne P\)।

সুতরাং, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স নয়। বরং এটি একটি ইনভোলিউটরি (involutory) ম্যাট্রিক্স, কারণ এর বর্গ একটি একক ম্যাট্রিক্স (\(I\))।

অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা: একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি ম্যাট্রিক্সটিকে এর নিজের সাথে গুণ করলে ম্যাট্রিক্সটি নিজেই ফেরত আসে। গাণিতিকভাবে, যদি \(A\) একটি ম্যাট্রিক্স হয়, তবে তা অভেদঘাতি হবে যদি \(A^2 = A\) হয়।

দেওয়া আছে:

\[A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\]

এবং

\[I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

আমরা জানি, যদি \(AB = I\) হয়, তাহলে \(B = A^{-1}\) হবে। ম্যাট্রিক্স \(A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}\) নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ ১: \(A\) এর নির্ণায়ক (\(|A|\)) নির্ণয় করি।

\[|A| = 3 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\]

\[|A| = 3((-3)(3) - (1)(-1)) + 1((1)(3) - (1)(1)) - 1((1)(-1) - (-3)(1))\]

\[|A| = 3(-9 + 1) + 1(3 - 1) - 1(-1 + 3)\]

\[|A| = 3(-8) + 1(2) - 1(2)\]

\[|A| = -24 + 2 - 2\]

\[|A| = -24\]

যেহেতু \(|A| \neq 0\), সুতরাং \(A^{-1}\) বিদ্যমান।

ধাপ ২: \(A\) এর সহগুণক ম্যাট্রিক্স (Cofactor Matrix) নির্ণয় করি।

\[C_{11} = \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -9 + 1 = -8\]

\[C_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 1) = -2\]

\[C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 3 = 2\]

\[C_{21} = - \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -(-3 - 1) = -(-4) = 4\]

\[C_{22} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9 + 1 = 10\]

\[C_{23} = - \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 + 1) = -(-2) = 2\]

\[C_{31} = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 3 = -4\]

\[C_{32} = - \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(3 + 1) = -4\]

\[C_{33} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -9 + 1 = -8\]

সহগুণক ম্যাট্রিক্স হলো:

\[C = \begin{bmatrix} -8 & -2 & 2 \\ 4 & 10 & 2 \\ -4 & -4 & -8 \end{bmatrix}\]

ধাপ ৩: \(A\) এর অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (Adjoint Matrix, \(adj(A)\)) নির্ণয় করি।

\(adj(A)\) হলো সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (transpose):

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} -8 & 4 & -4 \\ -2 & 10 & -4 \\ 2 & 2 & -8 \end{bmatrix}\]

ধাপ ৪: \(B\) ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করি।

\[B = A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)\]

\[B = \frac{1}{-24} \begin{bmatrix} -8 & 4 & -4 \\ -2 & 10 & -4 \\ 2 & 2 & -8 \end{bmatrix}\]

\[B = \begin{bmatrix} \frac{-8}{-24} & \frac{4}{-24} & \frac{-4}{-24} \\ \frac{-2}{-24} & \frac{10}{-24} & \frac{-4}{-24} \\ \frac{2}{-24} & \frac{2}{-24} & \frac{-8}{-24} \end{bmatrix}\]

\[B = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}\]

সুতরাং, \(B\) ম্যাট্রিক্সটি হলো:

\[B = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}\]