A = 3- 1- 11- 311- 13

$A = [\begin{matrix} 3 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & 1 \\ 1 & - 1 & 3 \end{matrix}]$

Created: 11 months ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

137

(ক)

a = 3 হলে,হলে , দেখ দেখাও যে, $[\begin{matrix} a & a + 1 \\ - a + 1 & - a \end{matrix}]$ একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।

উত্তরঃ

প্রদত্ত, $a = 3$

প্রশ্নোক্ত ম্যাট্রিক্সটি হলো:

$P = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ -a+1 & -a \end{pmatrix}$

$a = 3$ বসিয়ে পাই:

$P = \begin{pmatrix} 3 & 3+1 \\ -3+1 & -3 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$

একটি ম্যাট্রিক্স $P$ অভেদঘাতি হবে যদি $P^2 = P$ হয়।

এখন, আমরা $P^2$ নির্ণয় করি:

$P^2 = P \times P = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$

$P^2 = \begin{pmatrix} (3 \times 3) + (4 \times -2) & (3 \times 4) + (4 \times -3) \\ (-2 \times 3) + (-3 \times -2) & (-2 \times 4) + (-3 \times -3) \end{pmatrix}$

$P^2 = \begin{pmatrix} 9 - 8 & 12 - 12 \\ -6 + 6 & -8 + 9 \end{pmatrix}$

$P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

যেহেতু $P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ এবং $P = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$, এখানে $P^2 \ne P$।

সুতরাং, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স নয়। বরং এটি একটি ইনভোলিউটরি (involutory) ম্যাট্রিক্স, কারণ এর বর্গ একটি একক ম্যাট্রিক্স ($I$)।

অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা: একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি ম্যাট্রিক্সটিকে এর নিজের সাথে গুণ করলে ম্যাট্রিক্সটি নিজেই ফেরত আসে। গাণিতিকভাবে, যদি $A$ একটি ম্যাট্রিক্স হয়, তবে তা অভেদঘাতি হবে যদি $A^2 = A$ হয়।

Satt AI

1 day ago

(খ)

A^{2} - 2 A + 3 I

নির্ণয় কর; যেখানে । একটি একক ম্যাট্রিক্স।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

\[A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\]

যেখানে $I$ একটি একক ম্যাট্রিক্স (identity matrix), সুতরাং, ম্যাট্রিক্স $A$-এর ক্রম $3 \times 3$ হওয়ায় $I$ এর ক্রমও $3 \times 3$ হবে।

\[I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

প্রথমত, আমরা $A^2$ নির্ণয় করি:

\[A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\]

\[A^2 = \begin{bmatrix} (3 \times 3) + (-1 \times 1) + (-1 \times 1) & (3 \times -1) + (-1 \times -3) + (-1 \times -1) & (3 \times -1) + (-1 \times 1) + (-1 \times 3) \\ (1 \times 3) + (-3 \times 1) + (1 \times 1) & (1 \times -1) + (-3 \times -3) + (1 \times -1) & (1 \times -1) + (-3 \times 1) + (1 \times 3) \\ (1 \times 3) + (-1 \times 1) + (3 \times 1) & (1 \times -1) + (-1 \times -3) + (3 \times -1) & (1 \times -1) + (-1 \times 1) + (3 \times 3) \end{bmatrix}\]

\[A^2 = \begin{bmatrix} 9 - 1 - 1 & -3 + 3 + 1 & -3 - 1 - 3 \\ 3 - 3 + 1 & -1 + 9 - 1 & -1 - 3 + 3 \\ 3 - 1 + 3 & -1 + 3 - 3 & -1 - 1 + 9 \end{bmatrix}\]

\[A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 1 & -7 \\ 1 & 7 & -1 \\ 5 & -1 & 7 \end{bmatrix}\]

এবার, $2A$ নির্ণয় করি:

\[2A = 2 \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 3 & 2 \times -1 & 2 \times -1 \\ 2 \times 1 & 2 \times -3 & 2 \times 1 \\ 2 \times 1 & 2 \times -1 & 2 \times 3 \end{bmatrix}\]

\[2A = \begin{bmatrix} 6 & -2 & -2 \\ 2 & -6 & 2 \\ 2 & -2 & 6 \end{bmatrix}\]

এবং $3I$ নির্ণয় করি:

\[3I = 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 1 & 3 \times 0 & 3 \times 0 \\ 3 \times 0 & 3 \times 1 & 3 \times 0 \\ 3 \times 0 & 3 \times 0 & 3 \times 1 \end{bmatrix}\]

\[3I = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]

এখন, আমরা $A^2 - 2A + 3I$ নির্ণয় করি:

\[A^2 - 2A + 3I = \begin{bmatrix} 7 & 1 & -7 \\ 1 & 7 & -1 \\ 5 & -1 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & -2 & -2 \\ 2 & -6 & 2 \\ 2 & -2 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]

\[ = \begin{bmatrix} 7-6+3 & 1-(-2)+0 & -7-(-2)+0 \\ 1-2+0 & 7-(-6)+3 & -1-2+0 \\ 5-2+0 & -1-(-2)+0 & 7-6+3 \end{bmatrix}\]

\[ = \begin{bmatrix} 4 & 3 & -5 \\ -1 & 16 & -3 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}\]

সুতরাং, $A^2 - 2A + 3I = \begin{bmatrix} 4 & 3 & -5 \\ -1 & 16 & -3 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

Satt AI

1 day ago

(গ)

AB = I হলে, B নির্ণয় কর; যেখানে $I = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

উত্তরঃ

দেওয়া আছে:

\[A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\]

এবং

\[I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

আমরা জানি, যদি $AB = I$ হয়, তাহলে $B = A^{-1}$ হবে। ম্যাট্রিক্স $A$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ ১: $A$ এর নির্ণায়ক ($|A|$) নির্ণয় করি।

\[|A| = 3 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\]

\[|A| = 3((-3)(3) - (1)(-1)) + 1((1)(3) - (1)(1)) - 1((1)(-1) - (-3)(1))\]

\[|A| = 3(-9 + 1) + 1(3 - 1) - 1(-1 + 3)\]

\[|A| = 3(-8) + 1(2) - 1(2)\]

\[|A| = -24 + 2 - 2\]

\[|A| = -24\]

যেহেতু $|A| \neq 0$, সুতরাং $A^{-1}$ বিদ্যমান।

ধাপ ২: $A$ এর সহগুণক ম্যাট্রিক্স (Cofactor Matrix) নির্ণয় করি।

\[C_{11} = \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -9 + 1 = -8\]

\[C_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 1) = -2\]

\[C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 3 = 2\]

\[C_{21} = - \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -(-3 - 1) = -(-4) = 4\]

\[C_{22} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9 + 1 = 10\]

\[C_{23} = - \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 + 1) = -(-2) = 2\]

\[C_{31} = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 3 = -4\]

\[C_{32} = - \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(3 + 1) = -4\]

\[C_{33} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -9 + 1 = -8\]

সহগুণক ম্যাট্রিক্স হলো:

\[C = \begin{bmatrix} -8 & -2 & 2 \\ 4 & 10 & 2 \\ -4 & -4 & -8 \end{bmatrix}\]

ধাপ ৩: $A$ এর অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (Adjoint Matrix, $adj(A)$) নির্ণয় করি।

$adj(A)$ হলো সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (transpose):

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} -8 & 4 & -4 \\ -2 & 10 & -4 \\ 2 & 2 & -8 \end{bmatrix}\]

ধাপ ৪: $B$ ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করি।

\[B = A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)\]

\[B = \frac{1}{-24} \begin{bmatrix} -8 & 4 & -4 \\ -2 & 10 & -4 \\ 2 & 2 & -8 \end{bmatrix}\]

\[B = \begin{bmatrix} \frac{-8}{-24} & \frac{4}{-24} & \frac{-4}{-24} \\ \frac{-2}{-24} & \frac{10}{-24} & \frac{-4}{-24} \\ \frac{2}{-24} & \frac{2}{-24} & \frac{-8}{-24} \end{bmatrix}\]

\[B = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}\]

সুতরাং, $B$ ম্যাট্রিক্সটি হলো:

\[B = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}\]

Satt AI

1 day ago

137

MCQ: 6.1k

Practice

Related Question

View All

(ক)

A = (1 2 3) এবং $B = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ হলে (AB)^t নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

620

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ম্যাট্রিক্স A = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $ এবং B = $ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $। প্রথমে AB নির্ণয় করা যাক। ম্যাট্রিক্স A এর ক্রম 1x3 এবং B এর ক্রম 3x1। যেহেতু প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা (3) এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা (3) সমান, তাই তাদের গুণফল একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।

অতএব, AB = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3) + (2 \times 2) + (3 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

এখন, (AB)^t নির্ণয় করতে হবে। যেকোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (Transposed Matrix) হলো তার সারিগুলোকে কলামে এবং কলামগুলোকে সারিতে রূপান্তর করা। যেহেতু AB একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স যা শুধুমাত্র একটি উপাদান নিয়ে গঠিত, তাই এর ট্রান্সপোজ করলে ম্যাট্রিক্সটি নিজেই অপরিবর্তিত থাকে।

সুতরাং, (AB)^t = $ \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} ^t = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

Satt AI

1 week ago

620

(খ)

দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর ।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

611

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট:

$x + y + z = 1 \quad \ldots(1)$

$x + 2y + z = 2 \quad \ldots(2)$

$x + y + 2z = 0 \quad \ldots(3)$

নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধানের জন্য, সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $D$ নির্ণয় করি:

\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2)$

$= 1(3) - 1(1) + 1(-1)$

$= 3 - 1 - 1$

$= 1$

এখন, $x$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_x$ নির্ণয় করি (প্রথম কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(2 \times 2 - 1 \times 0) + 1(2 \times 1 - 2 \times 0)$

$= 1(4 - 1) - 1(4 - 0) + 1(2 - 0)$

$= 1(3) - 1(4) + 1(2)$

$= 3 - 4 + 2$

$= 1$

$\therefore x = \frac{D_x}{D} = \frac{1}{1} = 1$

এরপর, $y$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_y$ নির্ণয় করি (দ্বিতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 0) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 0 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 0) - 1(2 - 1) + 1(0 - 2)$

$= 1(4) - 1(1) + 1(-2)$

$= 4 - 1 - 2$

$= 1$

$\therefore y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{1} = 1$

সবশেষে, $z$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_z$ নির্ণয় করি (তৃতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 0 - 2 \times 1) - 1(1 \times 0 - 2 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(0 - 2) - 1(0 - 2) + 1(1 - 2)$

$= 1(-2) - 1(-2) + 1(-1)$

$= -2 + 2 - 1$

$= -1$

$\therefore z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{1} = -1$

অতএব, নির্ণয় সমাধান: $x = 1, y = 1, z = -1$

Satt AI

1 week ago

611

(গ)

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, D = S³ যেখানে S = p+q+r.

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

704

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এবং S = p+q+r

বামপক্ষ,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারির উপাদানগুলোকে পুনরায় সাজাই:

$p-q-r = p+q+r - 2q - 2r = S - 2(q+r)$

$q-r-p = p+q+r - 2r - 2p = S - 2(r+p)$

$r-p-q = p+q+r - 2p - 2q = S - 2(p+q)$

এখন, ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিতে $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ প্রয়োগ করে পাই:

$R_1 = \left( \frac{p-q-r}{2} + q + r, \ p + \frac{q-r-p}{2} + r, \ p + q + \frac{r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p-q-r+2q+2r}{2}, \ \frac{2p+q-r-p+2r}{2}, \ \frac{2p+2q+r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2} \right)$

সুতরাং, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{S}{2} & \frac{S}{2} & \frac{S}{2} \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারি থেকে $\frac{S}{2}$ কমন নিয়ে পাই:

D = $8 \cdot \frac{S}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এখন, $C_2 \to C_2 - C_1$ এবং $C_3 \to C_3 - C_1$ কলাম অপারেশন প্রয়োগ করি:

$C_2' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ \frac{q-r-p}{2} - q \\ r-r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{q-r-p-2q}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-q-r-p}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{S}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

$C_3' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ q-q \\ \frac{r-p-q}{2} - r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{r-p-q-2r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{-p-q-r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{S}{2} \end{pmatrix}$

অতএব, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ q & -\frac{S}{2} & 0 \\ r & 0 & -\frac{S}{2} \end{vmatrix}$

এটি একটি নিম্ন ত্রিভুজাকার নির্ণায়ক, যার মান প্রধান কর্ণ বরাবর উপাদানগুলোর গুণফলের সমান:

D = $4S \left( 1 \cdot (-\frac{S}{2}) \cdot (-\frac{S}{2}) \right)$

D = $4S \left( \frac{S^2}{4} \right)$

D = $S^3$

সুতরাং, D = S³ (প্রমাণিত)।

Satt AI

1 week ago

704

(ক)

P + Q ম্যাট্রিক্সের ট্রেস নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

604

Add Explanation

604

(খ)

প্রমাণ কর যে, ${(P Q)}^{t} = Q^{t} P^{t}$

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

497

Add Explanation

497

(গ)

PR = RP = I হলে R ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে I একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

816

Add Explanation

816

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

A =3- 1- 11- 311- 13

Related Question

Related Question

Promotion

$A = [\begin{matrix} 3 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & 1 \\ 1 & - 1 & 3 \end{matrix}]$