(৪)

$a^{2}b\left(a^3-b^3\right), a^2{b}^2 \left(a^4+a^2{b}^2+b^4\right)$ এবং $a^3{b}^2 + a^2{b}^3 + a{b}^4$

প্রদত্ত রাশি $=a^2{b}^2\left(a^4+a^2{b}^2+b^4\right)$

$=a^2{b}^2\left(a^4+2a^2{b}^2+b^4-a^2{b}^2\right)$

$=a^2{b}^2 \left\{(a^2{)}^2+2a^2.b^2+(b^2{)}^2-(ab{)}^2\right\}$

$=a^2{b}^2\left\{(a^2+b^2{)}^2-(ab{)}^2\right\}$

$=a^2{b}^2(a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab)$

$=a^2{b}^2 (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$  (Ans)

১ম রাশি = $a^{2}b(a^3-b^3) = a^{2}b(a-b)(a^2+ab+b^2)$

২য় রাশি $= a^2{b}^2 \left(a^2 + ab + b^2\right)\left(a^2 - ab + b^2\right)$ ['ক' হতে প্রাপ্ত]

৩য় রাশি = $a^3{b}^2 + a^2{b}^3 + a{b}^4 = a{b}^2 \left(a^2 + ab + b^2\right)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু $=a^2{b}^2 (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)(a-b)$

এবং নির্ণেয় গ.সা.গু = $ab(a^2+ab+b^2)$

বামপক্ষ = রাশি তিনটির ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু.

$=a^2{b}^2(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)(a-b)\times ab(a^2+ab+b^2)$

$=a^3{b}^3 (a^3-b^3)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

$=a^3{b}^3 (a^3-b^3)(a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab)$

আবার, ডানপক্ষ = রাশি তিনটির গুণফল

১ম রাশি $\times$ ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

$=a^{2}b(a-b)(a^2+ab+b^2) \times a^2{b}^2(a^2+ab+b^2),$ $(a^2-ab+b^2) \times a{b}^2(a^2+ab+b^2)$

$=a^5{b}^5 (a^3-b^3) (a^2+ab+b^2{)}^2 (a^2-ab+b^2)$

$\therefore$ রাশি তিনটির ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু. $\ne$ রাশি তিনটির গুণফল (প্রমাণিত)

দ্বিতীয় রাশি $=a^2{b}^2 (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

এবং তৃতীয় রাশি $=a{b}^2 (a^2+ab+b^2)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল. সা. গু $=a^2{b}^2 (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

এবং গ.সা.গু $=a{b}^2(a^2+ab+b^2)$

ল. সা. গু / গ.সা.গু = $\frac{a^2{b}^2(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)}{a{b}^2(a^2+ab+b^2)}$

$=a(a^2-ab+b^2)$

$=2(2^2-2.1+1^2)$ [a ও b এর মান বসিয়ে]

$= 2(4 - 2 + 1) = 2 \times 3 = 6$

$\therefore$ ল. সা. গু = 6 $\times$ গ.সা.গু.

$\therefore$ দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশির ল.সা.গু. রাশি দুটির গ.সা.গু. এর 6 গুণের সমান। (দেখানো হলো)