A=a-1x7 এবং B=3-12x6দুইটি দ্বিপদী রাশি।

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে,(1+3x2)4 = 1+4 (3x2)1+6 (3x2)2+4 (3x2)3+1 (3x2)4= 1+12x2+54x4+108x6+81x8∴ নির্ণেয় বিস্তৃতি: 1+12x2+54x4+108x6+81x8 দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,A=a-1x=a7+71a6 -1x+72a5 -1x2+73a4 -1x3+74a3 -1x4+.....=a7+7a6

$A = {(a - \frac{1}{x})}^{7}$ এবং $B = {(3 - \frac{1}{2} x)}^{6}$ দুইটি দ্বিপদী রাশি।

Created: 6 months ago | Updated: 6 months ago

Updated: 6 months ago

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

(ক)

${(1 + 3 x^{2})}^{4}$ কে প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃতি কর।

উত্তরঃ

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে,

$(1 + 3 x^{2})^{4} = 1 + 4 (3 x^{2})^{1} + 6 (3 x^{2})^{2} + 4 (3 x^{2})^{3} + 1 (3 x^{2})^{4}$

$= 1 + 12 x^{2} + 54 x^{4} + 108 x^{6} + 81 x^{8}$

$∴$ নির্ণেয় বিস্তৃতি: $1 + 12 x^{2} + 54 x^{4} + 108 x^{6} + 81 x^{8}$

Affan Ahmed

6 months ago

(খ)

A এর বিস্তৃতিতে $x^{- 2}$ এর সহগ $x^{- 4}$ এর সহগের 135 গুণ হলে a এর মান নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$A = (a - \frac{1}{x}) = a^{7} + (\frac{7}{1}) a^{6} (- \frac{1}{x}) + (\frac{7}{2}) a^{5} {(- \frac{1}{x})}^{2} + (\frac{7}{3}) a^{4} {(- \frac{1}{x})}^{3} + (\frac{7}{4}) a^{3} {(- \frac{1}{x})}^{4} + . . . . .$ $= a^{7} + \frac{7 a^{6}}{x} + \frac{7.6}{1.2} . a^{5} . \frac{1}{x^{2}} - \frac{7.6.5}{1.2.3} . a^{4} . \frac{1}{x^{3}} + \frac{7.6.5.4}{1.2.3.4} . a^{3} . \frac{1}{x^{4}} + . . .$

$= a^{2} - 7 a^{6} x^{- 1} + 21 a^{5} x^{- 2} - 35 a^{4} x^{- 3} + 35 a^{3} x^{- 4} + . . . . . .$

A এর বিস্তৃতিতে $x^{- 2}$ এর সহগ $= 21 a^{5}$

এবং $x^{- 4}$ এর সহগ $= 35 a^{3}$

শর্তমতে, $21 a^{5} = 135 \times 35 a^{3}$

বা, $\frac{a^{5}}{a^{3}} = \frac{135 \times 35}{21}$

বা, $a^{2} = 225$

বা, $a = \pm \sqrt{225}$

$∴$ $a = \pm 15$

$∴$ নির্ণেয় মান: $a = \pm 15$

Affan Ahmed

6 months ago

(গ)

B কে বিস্তৃতি করে উহার সাহায্যে ${(2.995)}^{6}$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $B = {(3 - \frac{1}{2} x)}^{6}$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$B = {(3 - \frac{1}{2} x)}^{6} = 3^{6} + 6 . 3^{5} {(- \frac{x}{2})}^{1} + 6 . 3^{4} {(- \frac{x}{2})}^{2} + 6 . 3^{3} {(- \frac{x}{2})}^{3} + 6 . 3^{2} {(- \frac{x}{2})}^{4} + 6 . 3^{1} {(- \frac{x}{2})}^{5} + 6 . 3^{0} {(- \frac{x}{2})}^{6}$

$= 729 + 6 . 243 . (- \frac{x}{2}) + 15.81 . \frac{x^{2}}{4} + 20.27 {(- \frac{x}{8})}^{3} + 15.9 . \frac{x^{4}}{16} + 6.3 (- \frac{x^{5}}{3^{2}}) + {\frac{x}{64}}^{6}$

$= 729 - 729 x + \frac{1215}{4} x^{2} - \frac{135}{2} x^{3} + \frac{135}{16} x^{4} - \frac{9}{16} x^{5} + \frac{1}{16} x^{6}$

এখানে, ${(3 - \frac{1}{2^{x}})}^{6} = {(2.995)}^{6}$

বা, $3 - \frac{x}{2} = 2.995$

বা, $\frac{x}{2} = 3 - 2.995$ $= 0.005$

বা, $x = 0.005 \times 2 = 0.01$

এখন, x = 0.01 বসিয়ে পাই, $(3 - \frac{0.01}{2})^{6} = 729 - 729 \times 0.01 + \frac{1215}{4} \times (0.01)^{2} - \frac{135}{2} - (0.01)^{3} + \frac{135}{6} \times {(0.04)}^{4} - \frac{9}{16} \times {(0.01)}^{5} + \frac{1}{64} \times {(0.01)}^{6}$

বা, $(3 - 0.005)^{6} = 729 - 7.29 + 0.030375 - 675 \times 10^{- 5} + 8.4375 \times 10^{- 8} - 5.625 \times 10^{- 11} + 1.5625 \times 10^{- 14}$

$∴$ $(2.995)^{6} = 721.7403$ (চার দশমিক স্থান পর্যন্ত)

$∴$ নির্ণেয় মান: 721.7403

Affan Ahmed

6 months ago

CQ: 63

দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

আমরা এ পর্যন্ত ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি নিয়ে আলোচনা করেছি। এই পর্যায়ে আমরা দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ আকার ${(x + y)}^{n}$ নিয়ে আলোচনা করব যেখানে $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ${(x + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি সাধারণভাবে দ্বিপদী উপপাদ্য নামে পরিচিত।

আমরা জানি,

${(1 + y)}^{n} = 1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) y^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) y^{3} + . . . . . . . . . . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) y^{n}$

এখন, ${(x + y)}^{n} = {[x (1 + \frac{y}{x})]}^{n} = x^{n} {(1 + \frac{y}{x})}^{n}$

$∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} [1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (\frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{3} + . . . . . . . . . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{n}] ∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} [1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (\frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) \frac{y^{2}}{x^{2}} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) \frac{y^{3}}{x^{3}} + . . . . . . + \frac{y^{n}}{x^{n}}] [∵ (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 1] = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y^{n}}{x^{2}}) + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y^{3}}{x^{3}}) + . . . . . . + x^{n} . \frac{y^{n}}{x^{n}} {(x + y)}^{n} = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} y^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . + y^{n}$

এটিই হচ্ছে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাধারণ আকার। লক্ষণীয় এই বিস্তৃতি ${(1 + y)}^{n}$ এর অনুরূপ। এখানে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে 0 পর্যন্ত যোগ করা হয়েছে। আরো লক্ষণীয়, প্রতি পদে $x$ ও $y$ এর ঘাতের যোগফল দ্বিপদীর ঘাতের সমান। প্রথম পদে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে শুরু হয়ে সর্বশেষ পদে শূন্য। ঠিক বিপরীতভাবে $y$ এর ঘাত প্রথম পদে শূন্য থেকে শুরু হয়ে শেষ পদে $n$ হয়েছে।

উদাহরণ ৩. ${(x + y)}^{5}$ কে বিস্তৃত কর এবং উহা হইতে ${(3 + 2 x)}^{5}$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান:

${(x + y)}^{5} = x^{5} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x y^{4} + y^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + \frac{5.4}{1.2} x^{3} y^{2} + \frac{5.4.3}{1.2.3} x^{2} y^{3} + \frac{5.4.3.1}{1.2.3.4} x y^{4} + y^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}$

$∴$ নির্ণেয় বিস্তৃতি ${(x + y)}^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}$

এখন $x = 3$ এবং $y = 2 x$ বসাই

${(3 + 2 x)}^{5} = 3^{5} + 5 . 3^{4} (2 x) + 10 . 3^{3} . {(2 x)}^{2} + 10 . 3^{2} {(2 x)}^{3} + 5.3 (2 x) + {(2 x)}^{5} = 243 + 810 x + 1080 x^{2} + 720 x^{3} + 240 x^{4} + 32 x^{5} ∴ {(3 + 2 x)}^{5} = 243 + 810 x + 1080 x^{2} + 720 x^{3} + 240 x^{4} + 32 x^{5}$

উদাহরণ ৪. ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ কে $x$ এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং $x$ মুক্ত পদটি শনাক্ত কর।

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6} = x^{6} + (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) x^{5} (\frac{1}{x^{2}}) + (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) x^{4} {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} + (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) x^{3} {(\frac{1}{x^{2}})}^{3} + . . . . . . . = x^{6} + 6 x^{3} + \frac{6.5}{1.2} x^{4} \frac{1}{x^{4}} + \frac{6.5.4}{1.2.3} x^{3} \frac{1}{x^{6}} + . . . . . . = x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . . .$
$∴$ নির্ণেয় বিস্তৃতি $x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . .$ এবং $x$ মুক্ত পদ $15$

Related Question

View All

(১)

${(2 - \frac{1}{3 x})}^{5}$ এর বিস্তৃতি কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশি: ${(2 - \frac{1}{3 x})}^{5}$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${(2 - \frac{1}{3 x})}^{5} = 2^{5} +^{5} C_{1} 2^{5 - 1} {(- \frac{1}{3 x})}^{1} +^{5} C_{2} 2^{5 - 2} {(- \frac{1}{3 x})}^{2} +^{5} C_{3} 2^{5 - 3} {(- \frac{1}{3 x})}^{3} +^{5} C_{4} 2^{5 - 4} {(- \frac{1}{3 x})}^{4} +^{5} C_{5} 2^{5 - 5} {(- \frac{1}{3 x})}^{5}$

$= 32 + 5 \times 2^{4} \times \frac{- 1}{3 x} + 10 \times 2^{3} \times \frac{1}{9 x^{2}} + 10 \times 2^{2} \times \frac{- 1}{27 x^{3}} + 5 \times 2^{1} \times \frac{1}{81 x^{4}} + 1 \times 2^{0} \times \frac{- 1}{243 \times x^{5}}$

$= 32 - \frac{80}{3 x} + \frac{80}{9 x^{2}} - \frac{80}{27 x^{3}} + \frac{10}{81 x^{4}} - \frac{- 1}{243 x^{5}}$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $32 - \frac{80}{3 x} + \frac{80}{9 x^{2}} - \frac{80}{27 x^{3}} + \frac{10}{81 x^{4}} - \frac{- 1}{243 x^{5}}$

Affan Ahmed

6 months ago

(২)

${(y - \frac{1}{y^{2}})}^{5}$ কে বিস্তৃত কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

107

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশি: ${(y - \frac{1}{y^{2}})}^{5}$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${(y - \frac{1}{y^{2}})}^{5} = y^{5} +^{5} C_{1} y^{5 - 1} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{1} +^{5} C_{2} y^{5 - 2} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{2} +^{5} C_{3} y^{5 - 3} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{3} +^{5} C_{4} y^{5 - 4} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{4} +^{5} C_{5} y^{5 - 5} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{5}$

$= y^{5} + 5 y^{4} . \frac{1}{y^{2}} + {\frac{5.4}{1.2}}^{2} y^{3} . \frac{1}{y^{4}} - \frac{5.43}{1.2.3} y^{2} . \frac{1}{y^{4}} - \frac{5.4.3}{1.2.3} y^{2} . \frac{1}{y^{6}} - \frac{5.4.3.2}{1.2.3.4} y . \frac{1}{y^{x}} - \frac{1}{y^{10}}$

$= y^{5} - 5 y^{2} + \frac{10}{y} - {\frac{10}{y^{4}}}^{2} + . \frac{5}{y^{7}} - \frac{1}{y^{10}}$

নির্ণেয় বিস্তৃতি $= y^{5} - 5 y^{2} + \frac{10}{y} - {\frac{10}{y^{4}}}^{2} + . \frac{5}{y^{7}} - \frac{1}{y^{10}}$

Affan Ahmed

6 months ago

107

(৩)

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ কে এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{4} = x^{6} + (\frac{6}{1}) x^{5} (\frac{1}{x^{2}}) + (\frac{6}{2}) x^{4} {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} + (\frac{6}{3}) x^{3} {(\frac{1}{x^{2}})}^{3} + . . . . . .$

$= x^{6} + 6 x^{3} + \frac{6.5}{1.2} x^{4} \frac{1}{x^{4}} + \frac{6.5.4}{1.2.3} x^{3} \frac{1}{x^{6}} + . . . . . .$

$= x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . .$

নির্ণেয় বিস্তৃতি : $x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . .$

Affan Ahmed

6 months ago

(৪)

${(2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{8}$ এর বিস্তৃতির প্রথম চারটি পদ নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে,

${(2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}})}^{8} = {(2 x^{2})}^{8} +^{8} C_{1} {(2 x^{2})}^{7} (- \frac{1}{x^{2}}) +^{8} C_{2} {(2 x^{2})}^{6} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2} +^{8} C_{3} {(2 x^{2})}^{5} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{3} + . . . . .$

$= 2^{8} . x^{16} - 8 . 2^{7} . x^{14} . \frac{1}{x^{2}} + \frac{8.7}{1.2} . 2^{6} . x^{12} . \frac{1}{x^{4}} - \frac{8.7.6}{1.2.3} . 2^{5} . x^{10} . \frac{1}{x^{6}} + . . . . .$

$= 256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1792 x^{8} - 1792 x^{4} + . . . . .$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1792 x^{8} - 1792 x^{4} + . . . . .$

Affan Ahmed

6 months ago

(৫)

k=1 হলে, ${(k + \frac{x}{3})}^{7}$ রাশিটির চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

k = 1 হলে, বীজগাণিতিক রাশিটি ${(1 - \frac{x}{3})}^{7}$

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${(1 - \frac{x}{3})}^{7} =^{7} C_{0} {(- \frac{x}{3})}^{0} +^{7} C_{1} {(- \frac{x}{3})}^{1} +^{7} C_{2} {(- \frac{x}{3})}^{2} +^{7} C_{3} {(- \frac{x}{3})}^{3} + . . .$