AB ও CD সরলরেখা দুইটি পরস্পর ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে। OM ও ON যথাক্রমে ∠AOD এবং ∠BOC এর সমদ্বিখণ্ডক।

(সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান)

কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।

চিত্রে ∠AOC এর বিপ্রতীপ কোণ ∠BOD এবং ∠COB এর বিপ্রতীপ কোণ ∠AOD |

এখানে, AB ও CD রেখা দুইটি পরস্পর বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে,.

∠AOC+∠BOC = 180°

অঙ্কন: AB রেখার উপর OE লম্ব আঁকি।

প্রমাণ: ∠AOC+∠BOC=∠AOE + ∠EOC+∠BOC = ∠AOE + ∠BOE [:∠EOC + ∠BOC = ∠BOE]

=90°+90° [:∠AOE ও ∠BOE প্রত্যেকে এক সমকোণ বা 90°)

∠AOC + ∠BOC = 180°. (প্রমাণিত)

এখানে, AB ও CD সরলরেখাদ্বয় ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠AOD ও ∠BOC এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় যথাক্রমে OM ও ON। প্রমাণ করতে হবে যে, OM ও ON সমরেখ অর্থাৎ একই সরলরেখায় অবস্থিত।

প্রমাণ: যেহেতু ∠AOD এর সমদ্বিখন্ডক OM সেহেতু ∠AOM , ∠DOM আবার, ∠AOD = ∠AOM + ∠DOM বা, ∠AOD = ∠AOM +  ∠AOM [:: ∠AOM = ∠DOM] .. ∠AOD=2∠AOM অনুরূপভাবে, ∠BOC = 2 ∠BON এখন, ∠AOD এর বিপ্রতীপ কোণ ∠BOC.

.. ∠AOD = ∠BOC [:: বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান] বা, 2∠AOM = 2 ∠BON অর্থাৎ, ∠AOM = ∠BON ∠AOM ও ∠BON পরস্পর বিপ্রতীপ বলে MN একই সরলরেখা হবে। অতএব, OM ও ON একই সরলরেখায় অবস্থিত। অর্থাৎ, OM ও ON সমরেখ। (প্রমাণিত)