AB বরাবর সুজনের নৌকার বেগ = 6 ms^-1

AC বরাবর কুবেরের নৌকার বেগ = 5.5 ms^-1 

CB বরাবর স্রোতের বেগ = 1.2 ms^-1 

নদীর প্রস্থ, AB = 400 m.

ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় যাতে ব্যাগ টানার সময় বলের প্রয়োগবিন্দু ব্যাগটির ভরকেন্দ্র থেকে দূরে থাকে এবং ব্যাগটিকে সহজে কাত করে সামনের দিকে টানা যায়। এর ফলে প্রয়োজনীয় ঘূর্ণন বল বা টর্ক (torque) কমিয়ে সহজে ব্যাগটি নিয়ন্ত্রণ করা যায়।

লম্বা হাতল ব্যবহারের কারণে বলের প্রয়োগবিন্দু উঁচু হয় এবং তা ব্যাগের ভরকেন্দ্রের সাথে একটি বৃহত্তর উলম্ব দূরত্ব সৃষ্টি করে। যখন হাতল ধরে ব্যাগ টানা হয়, তখন প্রযুক্ত বল এবং ব্যাগের ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে বলের কার্যরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বৃদ্ধি পায়। এতে একই টর্ক উৎপন্ন করার জন্য তুলনামূলকভাবে কম বল প্রয়োগ করতে হয়। ফলে ব্যাগটি ঘোরাতে বা টানতে সুবিধা হয় এবং ব্যবহারকারীর উপর চাপ কম পড়ে, যা ব্যাগ বহন করা সহজ করে তোলে।

কুবেরের নৌকা যে বেগে অপর পাড়ে পৌঁছায়, তা হলো তার নিজস্ব বেগ এবং নদীর স্রোতের বেগের ভেক্টর যোগফল (resultant velocity)। যেহেতু দুটি বেগ ভিন্ন দিকে ক্রিয়াশীল, তাই এদের লব্ধি বেগ নির্ণয়ের জন্য ভেক্টর যোগের সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, কুবেরের নৌকার বেগ (\(v_K\)) = 5.5 ms^-1 এবং স্রোতের বেগ (\(u\)) = 1.2 ms^-1। চিত্রানুযায়ী, কুবের নৌকাটি নদীর প্রস্থের সাথে (AB রেখা) 120° কোণে চালাচ্ছেন। এর অর্থ হলো, কুবেরের নৌকা নদীর প্রস্থের দিক (বা AB এর বিপরীত দিক) থেকে \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) কোণে স্রোতের প্রতিকূলে যাচ্ছে। যদি নদীর প্রস্থের দিককে y-অক্ষ এবং স্রোতের দিককে x-অক্ষ ধরা হয়, তবে কুবেরের নৌকার বেগের উপাংশগুলি হবে: নদীর প্রস্থ বরাবর উপাংশ, \(v_{Ky} = v_K \cos 60^\circ = 5.5 \times 0.5 = 2.75\) ms^-1 এবং স্রোতের প্রতিকূলে উপাংশ, \(v_{Kx} = -v_K \sin 60^\circ = -5.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -4.7631\) ms^-1।

সুতরাং, কুবেরের নৌকার প্রকৃত বেগের (resultant velocity) x-উপাংশ হবে: \(V_x = v_{Kx} + u = -4.7631 + 1.2 = -3.5631\) ms^-1 (ঋণাত্মক চিহ্ন স্রোতের দিকের বিপরীত নির্দেশ করে)। প্রকৃত বেগের y-উপাংশ হবে: \(V_y = v_{Ky} = 2.75\) ms^-1। কুবেরের নৌকার প্রকৃত বেগের মান হবে: \(V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} = \sqrt{(-3.5631)^2 + (2.75)^2} = \sqrt{12.6957 + 7.5625} = \sqrt{20.2582} \approx 4.5009\) ms^-1। অতএব, কুবেরের নৌকা প্রকৃতপক্ষে 4.50 ms^-1 বেগে অপর পাড়ে পৌঁছাল।

    একটি নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে যিনি দ্রুততম সময়ে অপর পাড়ে পৌঁছাবেন, তা নির্ণয় করতে হলে নদী পার হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সময়ের গাণিতিক বিশ্লেষণ প্রয়োজন। এই সময় নির্ণয়ে নদীর প্রস্থ বরাবর বেগের উপাংশ গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। নিচে সুজন ও কুবেরের নদী পার হওয়ার প্রয়োজনীয় সময় গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হলো এবং কে আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে তা নির্ধারণ করা হলো।

    সুজনের ক্ষেত্রে:
    উদ্দীপকে দেওয়া আছে,
    নদীর প্রস্থ, \(D = 400 \text{ m}\)
    এবং "AB বরাবর সুজনের নৌকার বেগ = 6 ms^-1"। এখানে, AB নদীর প্রস্থ বরাবর নির্দেশ করে। এর অর্থ হলো, সুজন এমনভাবে নৌকা চালাচ্ছে যে তার নৌকার লব্ধি বেগের নদীর প্রস্থ বরাবর উপাংশ \(v_{S \perp} = 6 \text{ ms}^{-1}\)। এই বেগ তাকে সরাসরি অপর পাড়ে নিয়ে যাবে।
    সুজনের নদী পার হওয়ার প্রয়োজনীয় সময়,
    \(t_S = \frac{D}{v_{S \perp}}\)
    \(t_S = \frac{400}{6}\)
    \(t_S \approx 66.67 \text{ s}\)

    কুবেরের ক্ষেত্রে:
    উদ্দীপকে দেওয়া আছে,
    নদীর প্রস্থ, \(D = 400 \text{ m}\)
    কুবেরের নৌকার বেগ (স্রোতের সাপেক্ষে), \(v_K = 5.5 \text{ ms}^{-1}\)
    স্রোতের বেগ, \(u = 1.2 \text{ ms}^{-1}\)
    চিত্র অনুযায়ী, স্রোতের দিকের সাথে কুবেরের নৌকার বেগের (স্রোতের সাপেক্ষে) কোণ, \(\alpha = 120^\circ\)।
    নদী পার হওয়ার সময় নির্ভর করে নৌকার বেগের নদীর প্রস্থ বরাবর উপাংশের উপর।
    কুবেরের নৌকার বেগের নদীর প্রস্থ বরাবর উপাংশ,
    \(v_{K \perp} = v_K \sin(\alpha)\)
    \(v_{K \perp} = 5.5 \sin(120^\circ)\)
    \(v_{K \perp} = 5.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
    \(v_{K \perp} \approx 5.5 \times 0.8660\)
    \(v_{K \perp} \approx 4.763 \text{ ms}^{-1}\)
    কুবেরের নদী পার হওয়ার প্রয়োজনীয় সময়,
    \(t_K = \frac{D}{v_{K \perp}}\)
    \(t_K = \frac{400}{4.763}\)
    \(t_K \approx 83.98 \text{ s}\)

    মতামত:
    গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, সুজনের নদী পার হতে প্রায় \(66.67 \text{ s}\) এবং কুবেরের নদী পার হতে প্রায় \(83.98 \text{ s}\) সময় লাগে। যেহেতু সুজনের নদী পার হওয়ার প্রয়োজনীয় সময় কুবেরের চেয়ে কম (\(66.67 \text{ s} < 83.98 \text{ s}\)), তাই সুজন কুবেরের আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে। এর প্রধান কারণ হলো, সুজন তার নৌকাকে সরাসরি অপর পাড়ের দিকে একটি কার্যকর গতিতে (\(6 \text{ ms}^{-1}\)) পরিচালনা করছে, যা তাকে স্বল্প সময়ে নদী পার হতে সাহায্য করে। পক্ষান্তরে, কুবের তার নৌকাকে এমন একটি কোণে পরিচালনা করছে যার ফলে তার নৌকার বেগের শুধুমাত্র একটি তুলনামূলকভাবে ছোট উপাংশই নদীর প্রস্থ বরাবর কার্যকর থাকে, তাই তার বেশি সময় লাগে।