ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC-এর উপর লম্ব।

প্রমাণ কর যে, AB² + BC² + CA² = 4AD²

PQST একটি ট্রাপিজিয়াম। কারণ, PQST চতুর্ভুজে PQ$\perp$QS এবং TS$\perp$QS হওয়ায় PQ ও TS বাহুদ্বয় সমান্তরাল এবং তলের বিপরীত PT ও QS বাহুদ্বয় অসমান্তরাল।

দেখাতে হবে যে, ∆PRT সমকোণী।
প্রমাণ: ধাপ

(১) ∆PQR ও ∆RST-এ QR=ST=a, PQ=RS=b এবং অন্তর্ভুক্ত ∠PQR = অন্তর্ভুক্ত ∠RST; [প্রত্যেকে এক সমকোণ]

$\therefore$ ∆PQR = ∆RST সুতরাং PR = TR = c এবং ∠RPQ = ∠SRT

(২) ∆PQR -এ

∠PRQ+ ∠RPQ+ ∠PQR = 2 সমকোণ।          [$\because$ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ ]

বা, ∠PRQ+∠RPQ+1 সমকোণ = 2 সমকোণ

বা, ∠PRQ+ ∠RPQ = (2 - 1)

বা, ∠PRQ+ ∠RPQ = 1 সমকোণ

∠PRQ+ ∠SRT = 1 সমকোণ......... (1) [(১) হতে]

(৩) কিন্তু ∠PRQ+ ∠PRT+ ∠ SRT = 2 সমকোণ। [সরলকোণ বলে]

বা, ∠PRT + 1 সমকোণ = 2 সমকোণ; [(i) নং হতে]

বা, ∠PRT = (2 - 1) সমকোণ।

$\therefore$ ∠PRT = 1 সমকোণ।

সুতরাং, △ PRT সমকোণী। (দেখানো হলো)

প্রমাণ করতে হবে যে, PR² = PQ² + QR²

প্রমাণ: PQST ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্র △-ক্ষেত্র PQR + ∆-ক্ষেত্র PRT+ ∆-ক্ষেত্র SRT

$\therefore$ $\frac{1}{2}$QS (PQ+TS)

= $\frac{1}{2}$ × PQ × QR + $\frac{1}{2}$× PR ×RT + $\frac{1}{2}$ × RS × ST

বা, $\frac{1}{2}$ (QR +RS) $\frac{1}{2}$(PQ +ST) =$\frac{1}{2}$ × PQ × QR + $\frac{1}{2}$ × PR × RT + $\frac{1}{2}$ × RS × ST

বা, $\frac{1}{2}$ (a+b) (b+a) =$\frac{1}{2}$ba+ $\frac{1}{2}$c² + $\frac{1}{2}$ba

বা,$\frac{1}{2}$ (a+b) (b+a) =ba+ $\frac{1}{2}$c²

বা,$\frac{1}{2}$ (a+b)² =ba+ $\frac{1}{2}$c²

বা, $\frac{1}{2}$ (a²+2ab+b²)² = ab+ $\frac{1}{2}$c²

বা, $\frac{1}{2}$a² +ab +$\frac{1}{2}$b² = ab+ $\frac{1}{2}$c²

বা, $\frac{1}{2}$a² +$\frac{1}{2}$b² = $\frac{1}{2}$c²

$\therefore$ a² + b² = c²

অর্থাৎ PR² = PQ² + QR² (প্রমাণিত)

PQR ত্রিভুজের ∠P = 90°, PQ এবং PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে N ও M

বিশেষ নির্বচন:

মনে করি, PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠P = 90° , অতিভুজ RQ=b RP=c PQ=a.

প্রমাণ করতে হবে যে, RQ² = RP² + PQ² , b² = c² + a²

অঙ্কন: PQ কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি, যেন QD = RP = c হয়। D বিন্দুতে বর্ধিত PQ এর উপর DE লম্ব আঁকি, যেন DE = PQ = a হয়। Q, E ও R, E যোগ করি।

বিশেষ নির্বচন: PQR ত্রিভুজের ∠P সমকোণ, QM ও RN দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে,

5QR² = 4(QM² + RN²)