△ ABC এর D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

চিত্রে, △ ABC এর D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় OB ও OC পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

এখানে, ABC: ত্রিভুজের D এবং E যথাক্রমে AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, DE || BC এবং DE = $\frac{1}{2}$BC

অঙ্কন: D ও E যোগ করে বর্ধিত করি যেন EF = DE হয়।

প্রমাণ :

ধাপ ১. △ ADE ও △ CEF এর মধ্যে

AE = EC [দেওয়া আছে]

DE = EF [অঙ্কনানুসারে]

∠AED = ∠CEF [বিপ্রতীপ কোণ]

△ ADE $\equiv$ △ CEF [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

∠ADE = ∠EFC এবং ∠DAE = ∠ECF [একান্তর কোণ]

$\therefore$AD || CF বা, AB || CF

আবার, BD = AD = CF এবং BD || CF

সুতরাং BDFC একটি সামান্তরিক

$\therefore$ DF || BC বা DE || BC

ধাপ ২. আবার, DF = BC

বা, DE + EF = BC

বা,  DE + DE = BC [ধাপ (১) থেকে]

বা, 2DE = BC

বা, DE = $\frac{1}{2}$  BC

সুতরাং DE || BC এবং DE = $\frac{1}{2}$ BC (প্রমাণিত)

এখানে, △ABC - এর ∠B ও ∠C-এর সমদ্বিখণ্ডক OB এবং OC পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BQC =90° + $\frac{1}{2}$ ∠A.

প্রমাণ: ধাপ ১. △ ABC-এ,

∠A+ ∠B+ ∠C = 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান]

বা, $\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle C=\frac{180°}{2}$

বা, $\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle C=90° - \frac{1}{2}\angle A$

ধাপ ২. ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠B [OB, ∠B-এর সমদ্বিখণ্ডক]

এবং $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C [OC, \angle C$ এর সমদ্বিখন্ডক]

ধাপ ৩, এখন, △ BOC  -এ,

∠BOC+ ∠OBC+ ∠OCB = 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান ]

বা, $\angle BOC+\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle C={180}^{°}$  [ ধাপ ২ থেকে]

বা, $\angle BOC+{90}^{°}-\frac{1}{2}\angle A={180}^{°}$[ ধাপ ১ থেকে]

বা, $\angle BOC={180}^{°} - {90}^{°} + \frac{1}{2} \angle A$

$\therefore$ $\angle BOC={90}^{°} + \frac{1}{2} \angle A$ (দেখানো হলো)