ABC ও DEF দুইটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ।

দুইটি বহুভুজ সদৃশ হওয়ার শর্ত:

(i) অনুরূপ কোণগুলো সমান হবে।
(ii) অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাতগুলো সমান হবে।

মনে করি, ABC ও DEF ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ এবং তাদের দুটি অনুরূপ বাহু BC ও EF.

প্রমাণ করতে হবে △ABC : △DEF = $A{B}^2: D{E}^2=A{C}^2 : D{F}^2=B{C}^2: E{F}^2$

অঙ্কন : BC এবং EF-এর উপর যথাক্রমে AM এবং DN লম্ব আঁকি।

প্রমাণ :

ধাপ ১: △ABC = $\frac{1}{2}$ BC $\times$ AM  [ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ $\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা ]

এবং △DEF = $\frac{1}{2}$ EF $\times$DN [ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ $\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা ]

$\frac{△ABC}{△DEF}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}BC\times AM}{{\displaystyle \frac{1}{2}}EF \times DN}=\frac{BC}{EF}\times \frac{AM}{DN}$

ধাপ ২: ABM এবং DEN ত্রিভুজদ্বয়ে ∠B  = ∠E [△ABC ও △DEF সদৃশ]

∠AMB = ∠DNE [প্রত্যেকেই এক সমকোণ]

△ABM ও △DEN সদৃশকোণী, তাই সদৃশ।

ধাপ ৩: $\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$ [△ABC ও △DEF সদৃশ]

$\frac{△АВС}{△DEF}=\frac{BC}{EF}\times \frac{BC}{EF}=\frac{B{C}^2}{E{F}^2}$

ধাপ ৪: $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$ [△ABC ও △DEF ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ]

বা, $\frac{A{B}^2}{D{E}^2}=\frac{A{C}^2}{D{F}^2}=\frac{B{C}^2}{E{F}^2}$

অতএব, $\frac{△ABC}{△DEF}$ = $\frac{A{B}^2}{D{E}^2}=\frac{A{C}^2}{D{F}^2}=\frac{B{C}^2}{E{F}^2}$ [ধাপ (৩) থেকে]

△ABC : △DEF = $A{B}^2: D{E}^2=A{C}^2 : D{F}^2=B{C}^2: E{F}^2$ (প্রমাণিত)

মনে করি, △DEF এ DG ও EH মধ্যমান্বয় পরস্পর M বিন্দুতে ছেদ করেছে। M বিন্দু দিয়ে MN || GH আঁকি যা DF কে N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, DF = 6 HN.

প্রমাণ:

ধাপ ১ : △DGH-এ MN || GH

$\frac{DM}{MG}=\frac{DN}{HN}$

বা, $\frac{2MG}{MG}=\frac{DN}{HN}$  [মধ্যমান্বয় এদের ছেদ বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়]

বা $2=\frac{DN}{HN}$

$\therefore$ DN = 2HN

ধাপ ২: এখানে, DH = DN + HN

= 2HN + HN [ধাপ (১) হতে]

= 3 HN

ধাপ ৩: আবার, DF = DH + HF

= DH + DH [H, DF এর মধ্যবিন্দু]

= 2DH = 2 $\times$ 3 HN [ধাপ (২) হতে]

= 6HN

$\therefore$ DF = 6HN. (প্রমাণিত)