ABC ত্রিভুজের ভূমি BC সংলগ্ন কোণদ্বয়ের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বিপরীত বাহু দুইটিকে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে।

চিত্রে ABC ত্রিভুজের ভূমি BC সংলগ্ন ∠ACB = ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় CX ও BY যথাক্রমে AB ও AC বাহুকে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে।

মনে করি, ABC ত্রিভুজের ∠ACB ও ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় CX ও BY । XY, BC-এর সমান্তরাল। প্রমাণ করতে হবে যে, ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

প্রমাণ :

ধাপ ১: △ABC-এ XY, ভূমি BC-এর সমান্তরাল রেখা হওয়ায়, AX : XB = AY : YC

বা, $\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YC}$[ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা ঐ ত্রিভুজের অপর বাহুদ্বয়কে বা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে]

বা, $\frac{AX+XB}{XB}=\frac{AY+YC}{YC}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{AB}{XB}=\frac{AC}{YC}$

ধাপ ২: এখানে, ∠CBY = ∠XBY [BY, ∠CBX-এর সমদ্বিখণ্ডক]

এবং ∠XYB = ∠CBY [একান্তর কোণ]

∠XYB = ∠XBY

△XYB এ, ∠XYB = ∠XBY

$\therefore$ BX = XY

ধাপ ৩: অনুরূপভাবে, △CXY-এ, ∠CXY = ∠XCY

YC = XY

ধাপ ৪: BX = YC [ধাপ (১) ও (৩) হতে]

$\therefore$ AB = AC

অতএব, ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু। (প্রমাণিত)

সমনে করি, △ABC এর AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y। প্রমাণ করতে হবে যে, XY || BC  এবং $XY = \frac{1}{2} BC$

অঙ্কন: XY কে F পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন YF = XY হয়। C, F যোগ করি।

প্রমাণ: ধাপ ১: △AXY ও △CYF এর মধ্যে

AY = YC [AC এর মধ্যবিন্দু Y]

XY = YF [অঙ্কনানুসারে]

∠AYX = ∠CYF [বিপ্রতীপ কোণ]

△AXY $\equiv$ △CYF [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

$\therefore$ ∠AXY = ∠YFC

এবং ∠XAY = ∠YCF [একান্তর কোণ]

$\therefore$ AX || CF

বা, AB || CF

আবার, BX = AX = CF এবং BX || CF

সুতরাং BXFC একটি সামান্তরিক

$\therefore$ XF || BC বা XY || BC

ধাপ ২: আবার, XF = BC

বা, XY + YF = BC

বা, XY + XY = BC [ধাপ (১) থেকে]

বা, 2XY = BC

$\therefore$ XY = $\frac{1}{2}$ BC

সুতরাং XY || BC এবং XY = $\frac{1}{2}$ BC (প্রমাণিত)