ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ BP ও CQ দুইটি মধ্যমা।

প্রমাণ কর যে, 5BC² = 4 (BP² + CQ²)

বিশেষ নির্বচন: ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ, BP ও CQ দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, 5BC²  = 4(BP² +CQ² )

প্রমাণ:

(১) ∆ABC-এর BP ও CQ দুইটি মধ্যমা

$\therefore$ AP = $\frac{1}{2}$AC এবং AQ = $\frac{1}{2}$AB [ত্রিভুজের যে কোনো শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত মধ্যমা তার বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

(২) ∆ABC এ ∠A সমকোণ।

$\therefore$ AB² +AC²  = BC²  ………..(i)       [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]

(৩) আবার, ∆ABP এ ∠A সমকোণ

$\therefore$AB²  + AP²  = BP²  ………..(ii)                [একই কারণে]

তদ্রুপ ∆ACQ এ ∠A সমকোণ।

(৪) তদ্রুপ ∆ACQ এ ∠A সমকোণ।

$\therefore$ AC²  + AQ²  = CQ²  …….(iii)       [একই কারণে]

(৫) এখন, AB² +AP² +AC² +AQ²  = BP² +CQ²          [(ii) ও (iii) যোগ করে]

বা, AB²  + ($\frac{1}{2}$AC)²  + AC²  + ($\frac{1}{2}$AB)²  = BP²  +CQ²            [ধাপ (১) হতে]

বা, AB²  + AC²  + $\frac{1}{4}$AB²  + $\frac{1}{4}$AC²  = BP²  + CQ²

বা, (AB² +AC² )+$\frac{1}{4}$(AB²  +AC² )= BP² +CQ²

বা, BC² +$\frac{1}{4}$BC²  = BP²  +CQ²             [ধাপ (২) থেকে প্রাপ্ত]

বা, $\frac{5}{4}$BC²  = BP²  +CQ²

$\therefore$ 5BC²  = 4(BP² +CQ² ) (প্রমাণিত)