ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ ১ম চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। প্রথম চতুর্ভাগ হলো স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সেই অংশ যেখানে \(x \ge 0\) এবং \(y \ge 0\)। প্রদত্ত চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো A(0, -1), B(8, 3), C(6, 7) এবং D(-2, 3)।

চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, B(8, 3) এবং C(6, 7) বিন্দু দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত। A(0, -1) y-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে এবং D(-2, 3) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। সুতরাং, চতুর্ভুজের প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত অংশটি নির্ণয় করার জন্য আমাদের রেখাংশ AB এবং CD এর প্রথম চতুর্ভাগে ছেদবিন্দুগুলি খুঁজে বের করতে হবে।

    
• রেখাংশ AB: A(0, -1) এবং B(8, 3) বিন্দুদ্বয়ের মাধ্যমে গঠিত। এই রেখার সমীকরণ হলো: \(\frac{y - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{x - 0}{8 - 0}\)
  \(\Rightarrow \frac{y + 1}{4} = \frac{x}{8}\)
  \(\Rightarrow 2(y + 1) = x\)
  \(\Rightarrow x - 2y - 2 = 0\)।
  এই রেখাটি x-অক্ষকে (\(y=0\)) ছেদ করে \(x - 0 - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\) বিন্দুতে। এই ছেদবিন্দুটি হলো Q(2, 0)।
    
• রেখাংশ CD: D(-2, 3) এবং C(6, 7) বিন্দুদ্বয়ের মাধ্যমে গঠিত। এই রেখার সমীকরণ হলো: \(\frac{y - 3}{7 - 3} = \frac{x - (-2)}{6 - (-2)}\)
  \(\Rightarrow \frac{y - 3}{4} = \frac{x + 2}{8}\)
  \(\Rightarrow 2(y - 3) = x + 2\)
  \(\Rightarrow 2y - 6 = x + 2\)
  \(\Rightarrow x - 2y + 8 = 0\)।
  এই রেখাটি y-অক্ষকে (\(x=0\)) ছেদ করে \(0 - 2y + 8 = 0 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4\) বিন্দুতে। এই ছেদবিন্দুটি হলো R(0, 4)।

অতএব, ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে তা একটি পঞ্চভুজ যার শীর্ষবিন্দুগুলো হলো মূলবিন্দু O(0,0), Q(2,0), B(8,3), C(6,7) এবং R(0,4)। এই পঞ্চভুজ OQBCR এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমরা সারফেস (Shoelace) সূত্র ব্যবহার করব।

পঞ্চভুজ OQBCR এর ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1) |\)

এখানে, শীর্ষবিন্দুগুলো ক্রম অনুযায়ী: O(0,0), Q(2,0), B(8,3), C(6,7), R(0,4)।
\(x_1=0, y_1=0\)
\(x_2=2, y_2=0\)
\(x_3=8, y_3=3\)
\(x_4=6, y_4=7\)
\(x_5=0, y_5=4\)

প্রথম অংশ: \((x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1)\)
\( = (0 \times 0 + 2 \times 3 + 8 \times 7 + 6 \times 4 + 0 \times 0)\)
\( = (0 + 6 + 56 + 24 + 0)\)
\( = 86\)

দ্বিতীয় অংশ: \((y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1)\)
\( = (0 \times 2 + 0 \times 8 + 3 \times 6 + 7 \times 0 + 4 \times 0)\)
\( = (0 + 0 + 18 + 0 + 0)\)
\( = 18\)

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | 86 - 18 |\)
\( = \frac{1}{2} | 68 |\)
\( = \frac{1}{2} \times 68\)
\( = 34\) বর্গ একক।

সুতরাং, ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল 34 বর্গ একক।