BD রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

ধাপ ১: প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু Q নির্ণয়।

প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের সমীকরণ দুটি হলো:

\[ 2x - 4y + 6 = 0 \quad \text{(1)} \] \[ x + y = 8 \quad \text{(2)} \]

সমীকরণ (2) থেকে, \( y = 8 - x \)

y এর মান সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই:

\[ 2x - 4(8 - x) + 6 = 0 \] \[ 2x - 32 + 4x + 6 = 0 \] \[ 6x - 26 = 0 \] \[ 6x = 26 \] \[ x = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \]

এখন x এর মান y এর সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\[ y = 8 - \frac{13}{3} = \frac{24 - 13}{3} = \frac{11}{3} \]

সুতরাং, ছেদবিন্দু Q এর স্থানাঙ্ক হলো \( \left(\frac{13}{3}, \frac{11}{3}\right) \)।

ধাপ ২: প্রদত্ত সমান্তরাল রেখার ঢাল নির্ণয়।

যে রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে তা হলো \( 6x - 4y + 5 = 0 \)।

এই রেখার ঢাল নির্ণয়ের জন্য একে \( y = mx + c \) আকারে সাজাই:

\[ 4y = 6x + 5 \] \[ y = \frac{6}{4}x + \frac{5}{4} \] \[ y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{4} \]

এই রেখার ঢাল \( m = \frac{3}{2} \)।

যেহেতু নির্ণেয় সরলরেখাটি \( 6x - 4y + 5 = 0 \) রেখার সমান্তরাল, তাই তার ঢালও \( \frac{3}{2} \) হবে।

ধাপ ৩: Q বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়।

নির্ণেয় সরলরেখাটি Q \( \left(\frac{13}{3}, \frac{11}{3}\right) \) বিন্দুগামী এবং তার ঢাল \( m = \frac{3}{2} \)।

বিন্দু-ঢাল সূত্র ব্যবহার করে পাই, \( y - y_1 = m(x - x_1) \):

\[ y - \frac{11}{3} = \frac{3}{2}\left(x - \frac{13}{3}\right) \]

উভয় পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করে ভগ্নাংশ দূর করি:

\[ 6\left(y - \frac{11}{3}\right) = 6 \cdot \frac{3}{2}\left(x - \frac{13}{3}\right) \] \[ 6y - 22 = 9\left(x - \frac{13}{3}\right) \] \[ 6y - 22 = 9x - 9 \cdot \frac{13}{3} \] \[ 6y - 22 = 9x - 39 \]

সমীকরণটিকে সাধারণ আকারে \( Ax + By + C = 0 \) সাজিয়ে পাই:

\[ 9x - 6y - 39 + 22 = 0 \] \[ 9x - 6y - 17 = 0 \]

সুতরাং, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ হলো \( 9x - 6y - 17 = 0 \)।

উদ্দীপকের ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। প্রথম চতুর্ভাগ হলো স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সেই অংশ যেখানে \(x \ge 0\) এবং \(y \ge 0\)। প্রদত্ত চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো A(0, -1), B(8, 3), C(6, 7) এবং D(-2, 3)।

চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, B(8, 3) এবং C(6, 7) বিন্দু দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত। A(0, -1) y-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে এবং D(-2, 3) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। সুতরাং, চতুর্ভুজের প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত অংশটি নির্ণয় করার জন্য আমাদের রেখাংশ AB এবং CD এর প্রথম চতুর্ভাগে ছেদবিন্দুগুলি খুঁজে বের করতে হবে।

    
• রেখাংশ AB: A(0, -1) এবং B(8, 3) বিন্দুদ্বয়ের মাধ্যমে গঠিত। এই রেখার সমীকরণ হলো: \(\frac{y - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{x - 0}{8 - 0}\)
  \(\Rightarrow \frac{y + 1}{4} = \frac{x}{8}\)
  \(\Rightarrow 2(y + 1) = x\)
  \(\Rightarrow x - 2y - 2 = 0\)।
  এই রেখাটি x-অক্ষকে (\(y=0\)) ছেদ করে \(x - 0 - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\) বিন্দুতে। এই ছেদবিন্দুটি হলো Q(2, 0)।
    
• রেখাংশ CD: D(-2, 3) এবং C(6, 7) বিন্দুদ্বয়ের মাধ্যমে গঠিত। এই রেখার সমীকরণ হলো: \(\frac{y - 3}{7 - 3} = \frac{x - (-2)}{6 - (-2)}\)
  \(\Rightarrow \frac{y - 3}{4} = \frac{x + 2}{8}\)
  \(\Rightarrow 2(y - 3) = x + 2\)
  \(\Rightarrow 2y - 6 = x + 2\)
  \(\Rightarrow x - 2y + 8 = 0\)।
  এই রেখাটি y-অক্ষকে (\(x=0\)) ছেদ করে \(0 - 2y + 8 = 0 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4\) বিন্দুতে। এই ছেদবিন্দুটি হলো R(0, 4)।

অতএব, ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে তা একটি পঞ্চভুজ যার শীর্ষবিন্দুগুলো হলো মূলবিন্দু O(0,0), Q(2,0), B(8,3), C(6,7) এবং R(0,4)। এই পঞ্চভুজ OQBCR এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমরা সারফেস (Shoelace) সূত্র ব্যবহার করব।

পঞ্চভুজ OQBCR এর ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1) |\)

এখানে, শীর্ষবিন্দুগুলো ক্রম অনুযায়ী: O(0,0), Q(2,0), B(8,3), C(6,7), R(0,4)।
\(x_1=0, y_1=0\)
\(x_2=2, y_2=0\)
\(x_3=8, y_3=3\)
\(x_4=6, y_4=7\)
\(x_5=0, y_5=4\)

প্রথম অংশ: \((x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1)\)
\( = (0 \times 0 + 2 \times 3 + 8 \times 7 + 6 \times 4 + 0 \times 0)\)
\( = (0 + 6 + 56 + 24 + 0)\)
\( = 86\)

দ্বিতীয় অংশ: \((y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1)\)
\( = (0 \times 2 + 0 \times 8 + 3 \times 6 + 7 \times 0 + 4 \times 0)\)
\( = (0 + 0 + 18 + 0 + 0)\)
\( = 18\)

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | 86 - 18 |\)
\( = \frac{1}{2} | 68 |\)
\( = \frac{1}{2} \times 68\)
\( = 34\) বর্গ একক।

সুতরাং, ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল 34 বর্গ একক।