Among 80 students at a collage, 20 take Mathematics, 30 take English, and 12 take both Mathematics and English. Find the number of the students who take (a) Mathematics or English, (b) neither Mathematics nor English.

শুধু ইংরেজিতে পাশ করেছে = ৮০% - ৭৫% = ৫%

শুধু গণিতে পাশ করেছে = ৮৫% - ৭৫% = ১০%

∴ শুধু এক বা উভয় বিষয়ে মোট পাশ করেছে = ৫% + ১০ % + ৭৫% = ৯০%

অতএব, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = ১০০% - ৯০% = ১০%

এখন, ১০ জন উভয় বিষয়ে ফেল করে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০ জনে

∴ ৪০ জন উভয় বিষয়ে ফেল করে মোট পরীক্ষার্থী $= \frac{১০০ \times ৪০}{১০}$= ৪০০ জনে

Total students not enrolled in either course = Total students - (Students taking French + Students taking German - Students taking both)

Total students = 78

Students taking French = 41

Students taking German = 22

Students taking both = 9

Total students not enrolled in either course = 78 - (41 + 22 - 9) = 16 students.

To find the sets \( X \) and \( Y \) based on the given information, we need to interpret the provided conditions step by step.

### Given:

1. \( X \cup Y = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\} \)
2. \( X \cap Y = \{1, 5\} \)
3. \( Y - X = \{2, 6, 9, 10\} \)

### Step 1: Using \( Y - X \)

From condition 3, we know that:
\[
Y - X = \{2, 6, 9, 10\}
\]
This means that the elements \( 2, 6, 9, \) and \( 10 \) are in \( Y \) but not in \( X \). Therefore, we can express \( Y \) as:
\[
Y = (Y - X) \cup (X \cap Y)
\]
Since \( X \cap Y = \{1, 5\} \), we can write:
\[
Y = \{2, 6, 9, 10\} \cup \{1, 5\} = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}
\]

### Step 2: Using \( X \cup Y \)

Now, we know:
\[
X \cup Y = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\}
\]
And we have \( Y = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\} \). Now we can find \( X \):
\[
X = (X \cup Y) - Y
\]
This gives us:
\[
X = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\} - \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}
\]
Calculating this, we get:
\[
X = \{3, 8\}
\]

### Step 3: Verification

Now we need to verify if the derived sets satisfy all the conditions.

- **Checking \( X \cup Y \)**:
\[
X \cup Y = \{3, 8\} \cup \{1, 2, 5, 6, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\} \quad \text{(True)}
\]

- **Checking \( X \cap Y \)**:
\[
X \cap Y = \{3, 8\} \cap \{1, 2, 5, 6, 9, 10\} = \{1, 5\} \quad \text{(True)}
\]

- **Checking \( Y - X \)**:
\[
Y - X = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\} - \{3, 8\} = \{2, 6, 9, 10\} \quad \text{(True)}
\]

### Conclusion

Thus, the sets \( X \) and \( Y \) are:

\[
X = \{3, 8\}
\]
\[
Y = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}
\]

ধরি, নবীনদের x জন গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি।

∴ উপরের ভেনচিত্র হতে লেখা যায় যে,

১৫ + ১৫ + ২৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$৫৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$ x = ১০০-৫৫

∴ x = ৪৫

∴ গণিত বা ইংরেজি নিয়ে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা

= ১৫ + ১৫ + ২৫ = ৫৫ জন।

অতএব, (ক) গণিত বা ইংরেজি নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫৫ জন। 

(খ) গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪৫ জন।

Alternative:

ধরি, মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা, S = ১০০ জন।

এখানে, গণিত নেয়, M = ৩০ জন।

ইংরেজি নেয়, E = ৪০ জন।

উভয় বিষয় নেয়, M $\cap$ E = ১৫ জন।

ক) গণিত বা ইংরেজি নেয় M+E (M$\cap$E)

= ৩০ + ৪০ – ১৫ = ১৫ জন।

খ) কোনো বিষয়ই নেয়নি ১০০ -  ৫৫ = ৪৫ জন।