$A=x{y}^{p-1}, B=x{y}^{q-1},C=x{y}^{r-1}$এবং $y=\frac{4+x}{4-x}$একটি ফাংশন।

ধরি, $p = {\log }_{a}y$ এবং $q= {\log }_{a}x$

সুতরাং $a^p=y$ এবং $a^q=x$

এখানে, ${\left(a^p\right)}^q=y^q$

$\therefore$ $y^q=a^{pq}$

এবং ${\left(a^q\right)}^p=x^p$

$\therefore$ $x^p=a^{pq}$

সুতরাং, $x^p=y^q$

$\therefore x^{{\log }_{a}y}=y^{{\log }_{a}x}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $A=x{y}^{q-1}, B=x{y}^{q-1}$এবং $C=x{y}^{r-1}$

$\therefore$ বামপক্ষ$=(q-r) {\log }_k A+ (r-p) {\log }_k B+ (p-q) {\log }_k C$

$={\log }_k A^{q-r}+ {\log }_k B^{r-p}+ {\log }_k C^{p-q}$

$={\log }_k A^{q-r}\times B^{r-p}\times C^{p-q}$

$={\log }_k{\left( x{y}^{p-1}\right)}^{q-r}\times {\left( x{y}^{q-1}\right)}^{r-p}\times {\left( x{y}^{r-1}\right)}^{p-q}$

$={\log }_k x^{q-r+r-p+p-q}.y^{pq-pr-qr}.y^{qr-pq-r+p}.y^{pr-qr-p+q}$

$$\begin{gathered} ={\log }_k x^0.y^0 \\ ={\log }_k\left(1\times 1\right) \\ ={\log }_{k}1 \\ =0 \end{gathered}$$

= ডানপক্ষ

${\log }_{k}A+(r-p) {\log }_{k}B+ (p-q) {\log }_{k}C=0.$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $y=\frac{4+x}{4-x}$

$f\left(x\right)=\ln y$ হলে $f\left(x\right)=\ln \frac{4+x}{4-x}$

লগারিদম শুধু ধনাত্মক বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞায়িত হয় বলে, $\frac{4+x}{4-x}>0$

অর্থাৎ, $\left(i\right) 4 + x > 0$ এবং $4 - x > 0$; $\left(ii\right) 4 + x < 0$ এবং $4 - x < 0$

(i) থেকে পাই,                 

$4 + x > 0$                এবং  $4 - x > 0$

বা, $x > - 4$               এবং $4 > x$

বা, $- 4 < x$               এবং $x < 4$

$\therefore$ ডোমেন= $\left\{x : x<-4\right\} \cap \left\{x : x>4\right\}=\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন, $D_f=\left(-4,4\right)\cup \varnothing =\left(-4,4\right)$

রেঞ্জ: ধরি, $y=f\left(x\right)=\ln \frac{4+x}{4-x}$

বা $e^y=\frac{4+x}{4-x}$

বা, $4+x=4e^y-x{e}^y$

বা, $x+x{e}^y=4e^y-4$

বা, $x(1+e^y)=4(e^y-1)$

y এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ, $R_f=\mathrm{ℝ}$

নির্ণেয় ডোমেন, $D_f=\left(-4, 4\right)$এবং $R_f=\mathrm{ℝ}$