${\left(C^7\right)}^{-1}$ নির্ণয় কর।

প্রশ্ন থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সটি হলো \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\)

একটি ম্যাট্রিক্স \(A\) কে অভেদঘাতি (Involutory) বলা হয় যদি \(A^2 = I\) হয়, যেখানে \(I\) হলো অভেদক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)।

এখন, আমরা \(A^2\) নির্ণয় করব:

\(A^2 = A \times A\)

\(A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\)

\(A^2 = \begin{pmatrix} (2 \times 2) + (3 \times -1) & (2 \times 3) + (3 \times -2) \\ (-1 \times 2) + (-2 \times -1) & (-1 \times 3) + (-2 \times -2) \end{pmatrix}\)

\(A^2 = \begin{pmatrix} 4 - 3 & 6 - 6 \\ -2 + 2 & -3 + 4 \end{pmatrix}\)

\(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, \(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), যা একটি 2x2 অভেদক ম্যাট্রিক্স (\(I\))।

সুতরাং, যেহেতু \(A^2 = I\), প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি (Involutory)।

দেওয়া আছে,

    \(C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}\)

    \(X = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}\)

    \(D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)

এখন, \(X^T\) এবং \(D^T\) নির্ণয় করি:

    \(X^T = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\)

    \(D^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো \(CX^T = D^T\)। মান বসিয়ে পাই,

    \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)

ম্যাট্রিক্স গুণ করে সমীকরণ জোট গঠন করি:

    \(x + 2y + z = 1\)  (i)

    \(-x + 2y + 0z = 2 \implies -x + 2y = 2\)  (ii)

    \(3x + 4y + 5z = 3\)  (iii)

নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধানের জন্য, প্রথমে সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(D\) বের করি:

    \(D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix}\)

    \(D = 1(2 \times 5 - 0 \times 4) - 2(-1 \times 5 - 0 \times 3) + 1(-1 \times 4 - 2 \times 3)\)

    \(D = 1(10 - 0) - 2(-5 - 0) + 1(-4 - 6)\)

    \(D = 10 + 10 - 10\)

    \(D = 10\)

\(D_x\) নির্ণয়:

প্রথম কলামকে ধ্রুবপদ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

    \(D_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix}\)

    \(D_x = 1(2 \times 5 - 0 \times 4) - 2(2 \times 5 - 0 \times 3) + 1(2 \times 4 - 2 \times 3)\)

    \(D_x = 1(10 - 0) - 2(10 - 0) + 1(8 - 6)\)

    \(D_x = 10 - 20 + 2\)

    \(D_x = -8\)

\(D_y\) নির্ণয়:

দ্বিতীয় কলামকে ধ্রুবপদ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

    \(D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 5 \end{vmatrix}\)

    \(D_y = 1(2 \times 5 - 0 \times 3) - 1(-1 \times 5 - 0 \times 3) + 1(-1 \times 3 - 2 \times 3)\)

    \(D_y = 1(10 - 0) - 1(-5 - 0) + 1(-3 - 6)\)

    \(D_y = 10 + 5 - 9\)

    \(D_y = 6\)

\(D_z\) নির্ণয়:

তৃতীয় কলামকে ধ্রুবপদ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

    \(D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix}\)

    \(D_z = 1(2 \times 3 - 2 \times 4) - 2(-1 \times 3 - 2 \times 3) + 1(-1 \times 4 - 2 \times 3)\)

    \(D_z = 1(6 - 8) - 2(-3 - 6) + 1(-4 - 6)\)

    \(D_z = 1(-2) - 2(-9) + 1(-10)\)

    \(D_z = -2 + 18 - 10\)

    \(D_z = 6\)

ক্রেমারের সূত্রানুসারে (\(x = \frac{D_x}{D}, y = \frac{D_y}{D}, z = \frac{D_z}{D}\)), আমরা পাই:

    \(x = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}\)

    \(y = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

    \(z = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

অতএব, নির্ণেয় সমাধান:

    \(x = -\frac{4}{5}, y = \frac{3}{5}, z = \frac{3}{5}\)