C = $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right]$ , X=(xyz), D= (1 2 3).

প্রশ্ন থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সটি হলো \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\)

একটি ম্যাট্রিক্স \(A\) কে অভেদঘাতি (Involutory) বলা হয় যদি \(A^2 = I\) হয়, যেখানে \(I\) হলো অভেদক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)।

এখন, আমরা \(A^2\) নির্ণয় করব:

\(A^2 = A \times A\)

\(A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\)

\(A^2 = \begin{pmatrix} (2 \times 2) + (3 \times -1) & (2 \times 3) + (3 \times -2) \\ (-1 \times 2) + (-2 \times -1) & (-1 \times 3) + (-2 \times -2) \end{pmatrix}\)

\(A^2 = \begin{pmatrix} 4 - 3 & 6 - 6 \\ -2 + 2 & -3 + 4 \end{pmatrix}\)

\(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, \(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), যা একটি 2x2 অভেদক ম্যাট্রিক্স (\(I\))।

সুতরাং, যেহেতু \(A^2 = I\), প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি (Involutory)।

দেওয়া আছে,

    \(C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}\)

    \(X = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}\)

    \(D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)

এখন, \(X^T\) এবং \(D^T\) নির্ণয় করি:

    \(X^T = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\)

    \(D^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো \(CX^T = D^T\)। মান বসিয়ে পাই,

    \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)

ম্যাট্রিক্স গুণ করে সমীকরণ জোট গঠন করি:

    \(x + 2y + z = 1\)  (i)

    \(-x + 2y + 0z = 2 \implies -x + 2y = 2\)  (ii)

    \(3x + 4y + 5z = 3\)  (iii)

নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধানের জন্য, প্রথমে সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(D\) বের করি:

    \(D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix}\)

    \(D = 1(2 \times 5 - 0 \times 4) - 2(-1 \times 5 - 0 \times 3) + 1(-1 \times 4 - 2 \times 3)\)

    \(D = 1(10 - 0) - 2(-5 - 0) + 1(-4 - 6)\)

    \(D = 10 + 10 - 10\)

    \(D = 10\)

\(D_x\) নির্ণয়:

প্রথম কলামকে ধ্রুবপদ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

    \(D_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix}\)

    \(D_x = 1(2 \times 5 - 0 \times 4) - 2(2 \times 5 - 0 \times 3) + 1(2 \times 4 - 2 \times 3)\)

    \(D_x = 1(10 - 0) - 2(10 - 0) + 1(8 - 6)\)

    \(D_x = 10 - 20 + 2\)

    \(D_x = -8\)

\(D_y\) নির্ণয়:

দ্বিতীয় কলামকে ধ্রুবপদ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

    \(D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 5 \end{vmatrix}\)

    \(D_y = 1(2 \times 5 - 0 \times 3) - 1(-1 \times 5 - 0 \times 3) + 1(-1 \times 3 - 2 \times 3)\)

    \(D_y = 1(10 - 0) - 1(-5 - 0) + 1(-3 - 6)\)

    \(D_y = 10 + 5 - 9\)

    \(D_y = 6\)

\(D_z\) নির্ণয়:

তৃতীয় কলামকে ধ্রুবপদ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

    \(D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix}\)

    \(D_z = 1(2 \times 3 - 2 \times 4) - 2(-1 \times 3 - 2 \times 3) + 1(-1 \times 4 - 2 \times 3)\)

    \(D_z = 1(6 - 8) - 2(-3 - 6) + 1(-4 - 6)\)

    \(D_z = 1(-2) - 2(-9) + 1(-10)\)

    \(D_z = -2 + 18 - 10\)

    \(D_z = 6\)

ক্রেমারের সূত্রানুসারে (\(x = \frac{D_x}{D}, y = \frac{D_y}{D}, z = \frac{D_z}{D}\)), আমরা পাই:

    \(x = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}\)

    \(y = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

    \(z = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

অতএব, নির্ণেয় সমাধান:

    \(x = -\frac{4}{5}, y = \frac{3}{5}, z = \frac{3}{5}\)

আমরা জানি যে, একটি ম্যাট্রিক্সের ঘাতের বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের সূত্র হলো: \((A^n)^{-1} = (A^{-1})^n\)

সুতরাং, \(\left(C^7\right)^{-1} = (C^{-1})^7\)।

প্রথমে আমরা \(C^{-1}\) নির্ণয় করব।

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স,

\(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}\)

এখন, \(C\) এর নির্ণায়ক (Determinant of C), \(|C|\) নির্ণয়:

\(|C| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix}\)

\(|C| = 1(2 \cdot 5 - 0 \cdot 4) - 2(-1 \cdot 5 - 0 \cdot 3) + 1(-1 \cdot 4 - 2 \cdot 3)\)

\(|C| = 1(10 - 0) - 2(-5 - 0) + 1(-4 - 6)\)

\(|C| = 1(10) - 2(-5) + 1(-10)\)

\(|C| = 10 + 10 - 10\)

\(|C| = 10\)

যেহেতু \(|C| \neq 0\), সুতরাং \(C^{-1}\) বিদ্যমান।

\(C\) এর সহগুণক ম্যাট্রিক্স (Cofactor matrix of C) নির্ণয়:

\(C_{11} = (2 \cdot 5 - 0 \cdot 4) = 10\)

\(C_{12} = -(-1 \cdot 5 - 0 \cdot 3) = -(-5) = 5\)

\(C_{13} = (-1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = -4 - 6 = -10\)

\(C_{21} = -(2 \cdot 5 - 1 \cdot 4) = -(10 - 4) = -6\)

\(C_{22} = (1 \cdot 5 - 1 \cdot 3) = 5 - 3 = 2\)

\(C_{23} = -(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = -(4 - 6) = -(-2) = 2\)

\(C_{31} = (2 \cdot 0 - 1 \cdot 2) = 0 - 2 = -2\)

\(C_{32} = -(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) = -(0 + 1) = -1\)

\(C_{33} = (1 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) = 2 + 2 = 4\)

সহগুণক ম্যাট্রিক্স (Cofactor matrix), \(C_{cof} = \begin{pmatrix} 10 & 5 & -10 \\ -6 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \end{pmatrix}\)

\(C\) এর অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (Adjoint matrix of C), \(\text{adj}(C)\) নির্ণয়:

\(\text{adj}(C) = (C_{cof})^T = \begin{pmatrix} 10 & -6 & -2 \\ 5 & 2 & -1 \\ -10 & 2 & 4 \end{pmatrix}\)

\(C\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স (Inverse matrix of C), \(C^{-1}\) নির্ণয়:

\(C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{adj}(C)\)

\(C^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 10 & -6 & -2 \\ 5 & 2 & -1 \\ -10 & 2 & 4 \end{pmatrix}\)

\(C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -0.6 & -0.2 \\ 0.5 & 0.2 & -0.1 \\ -1 & 0.2 & 0.4 \end{pmatrix}\)

সুতরাং, \(\left(C^7\right)^{-1}\) এর মান:

\(\left(C^7\right)^{-1} = (C^{-1})^7 = \left( \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 10 & -6 & -2 \\ 5 & 2 & -1 \\ -10 & 2 & 4 \end{pmatrix} \right)^7\)

বা,

\(\left(C^7\right)^{-1} = \frac{1}{10^7} \begin{pmatrix} 10 & -6 & -2 \\ 5 & 2 & -1 \\ -10 & 2 & 4 \end{pmatrix}^7\)