$\cos ec\theta = M, cot\theta = N, sec\alpha = y; \theta , \alpha$. সূক্ষ্মকোণ।

দেওয়া আছে,

\(\sec\alpha = y\)

এবং \(y = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}}\)

গাণিতিক সমাধান:

\(\sec\alpha = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}}\)

\(\Rightarrow \sec\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(\Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{\sec\alpha} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}\)

যেহেতু \(\sqrt{\frac{3}{2}} > 1\) এবং \(\cos\alpha\) এর মান \(1\) এর বেশি হতে পারে না, তাই বাস্তব সূক্ষ্মকোণের জন্য এর নির্দিষ্ট মান পাওয়া যায় না।

অতএব, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অনুযায়ী, \(\alpha = \sec^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\) বা \(\alpha = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\)।

দেওয়া আছে,

\( M = \csc\theta \)

\( N = \cot\theta \)

এবং \( M + N = a \)

প্রমাণ করতে হবে যে: \( \cos\theta = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1} \)

প্রমাণ:

\( M + N = a \)

\(\Rightarrow \csc\theta + \cot\theta = a\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = a\)

\(\Rightarrow \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} = a\)

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই,

\(\Rightarrow \left(\frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}\right)^2 = a^2\)

\(\Rightarrow \frac{(1 + \cos\theta)^2}{\sin^2\theta} = a^2\)

\(\Rightarrow \frac{(1 + \cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta} = a^2\)   [\(\because \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\)]

\(\Rightarrow \frac{(1 + \cos\theta)(1 + \cos\theta)}{(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)} = a^2\)

\(\Rightarrow \frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta} = a^2\)

বিয়োজন-সংযোজন করে পাই,

\(\Rightarrow \frac{(1 + \cos\theta) - (1 - \cos\theta)}{(1 + \cos\theta) + (1 - \cos\theta)} = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}\)

\(\Rightarrow \frac{1 + \cos\theta - 1 + \cos\theta}{1 + \cos\theta + 1 - \cos\theta} = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}\)

\(\Rightarrow \frac{2\cos\theta}{2} = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}\)

\(\Rightarrow \cos\theta = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}\)

(প্রমাণিত)