Δ DEF এর DA, EB ও FC মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে।

এখানে, Δ DEF এর DA, EB এবং FC

মধ্যমাত্রয় পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করে।

GA = C(3,7) মি.।

∴ $DG=\frac{2}{3}AD$ [G বিন্দুতে মধ্যমাত্রয় 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়]

বা, $3AD-3GA=2AD$

বা, $3AD - 2AD = 3GA$

বা, $AD=3\times 3=9$ সে. মি.

∴ AD এর দৈর্ঘ্য 9 সে. মি.।

মনে করি Δ DEF এর EB মধ্যমা DF কে B বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে,

$D{E}^2+E{F}^2=2(B{D}^2+B{E}^2)$

অঙ্কন: DF বাহুর উপর (চিত্র ক) এবং DF বাহুর বর্ধিতাংশের উপর (চিত্র খ) EN লম্ব অঙ্কন করি।

প্রমাণ: △ EDB এর ∠EBD সূক্ষ্মকোণ এবং DB রেখার বর্ধিতাংশের। উপর EB রেখার লম্ব অভিক্ষেপ BN [উভয় চিত্রে]

স্থূলকোণর ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে আমরা পাই,

$D{E}^2=B{D}^2+B{E}^2+2BD.BN$ ........ (1)

আবার,  $\angle$EFB এর $\angle$EBF সূক্ষ্মকোণ এবং BF রেখার (চিত্র ক) এবং BF রেখার বর্ধিতাংশের (চিত্র খ) উপর EB রেখার লম্ব অভিক্ষেপ BN.

সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে,

∴ $E{F}^2=B{E}^2+B{F}^2-2BF.BN$

এখন সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই,

$D{E}^2+E{F}^2=2B{B}^2+B{D}^2+B{F}^2+2BD.BN-2BF.BN$

বা, $D{E}^2+E{F}^2=2B{E}^2+B{D}^2+B{D}^2+2BD.BN-2BD.BN$ [BD-BF]

বা, $D{E}^2+E{F}^2=2B{E}^2+2B{D}^2$

∴ $D{E}^2+E{F}^2=2(B{D}^2+B{E}^2)$ (প্রমাণিত)

মনে করি, Δ DEF এর DA, EB ও FC মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে,

$\frac{1}{3}(D{E}^2+E{F}^2+D{F}^2)=G{D}^2+G{E}^2+G{F}^2$

প্রমাণ: Δ DEF এ EB একটি মধ্যমা

$D{E}^2+E{F}^2=2B{E}^2+2B{D}^2$

বা, $D{E}^2+E{F}^2=2B{E}^2+2 {\left(\frac{1}{2}DF\right)}^2$

বা, $D{E}^2+E{F}^2=2B{E}^2+\frac{1}{2}D{F}^2$

বা, $2B{E}^2=D{E}^2+E{F}^2-\frac{1}{2}D{F}^2=\frac{2D{E}^2+2E{F}^2-D{F}^2}{2}$

$\therefore B{E}^2=\frac{2D{E}^2+2E{F}^2-D{F}^2}{4}$

অনুরূপভাবে, $D{A}^2=\frac{2D{E}^2+2D{F}^2-E{F}^2}{4}$

এবং $F{C}^2=\frac{2D{F}^2+2E{F}^2-D{E}^2}{4}$

$B{E}^2+D{A}^2+F{C}^2=\frac{2D{E}^2+2E{F}^2-D{F}^2}{4}+$ $\frac{2D{E}^2+2D{F}^2-E{F}^2}{4}+\frac{2D{F}^2+2E{F}^2-D{E}^2}{4}$$=\frac{3(D{E}^2+E{F}^2+D{F}^2)}{4}$

বা, $4(B{E}^2+D{A}^2+F{C}^2)=3(D{E}^2+E{F}^2+D{F}^2)$

এখন, $GE=\frac{2}{3}BE$ [ $\because$G বিন্দুতে মধ্যমাত্রয় 2 : 1 অনুপাত বিভক্ত হয়]

বা, 3GE = 2BE

বা, 9GE² = 4BE² [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

অনুরূপভাবে, $9G{D}^2=4D{A}^2$ এবং $9G{F}^2=4F{C}^2$

(i) নং সমীকরণে এই মান বসিয়ে পাই,

$9(G{E}^2+G{D}^2+G{F}^2)=3(D{E}^2+E{F}^2+D{F}^2)$

বা, $G{D}^2+G{E}^2+G{F}^2=\frac{3}{9}(D{E}^2+E{F}^2+D{F}^2)$

∴ $\frac{1}{3}(D{E}^2 + E{F}^2 + D{F}^2) = G{D}^2+ G{E}^2+ G{F}^2.$ (প্রমাণিত)