$f \left(x\right)=\frac{5-x}{5+x}$ এবং $g\left(x\right)=\ln \frac{3+x}{3-x}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{5-x}{5+x}$

$\therefore f\left(x\right)=\frac{5-5}{5+5}=\frac{0}{10}=0$

এবং  $f\left(-5\right)=\frac{5-\left(-5\right)}{5-5}=\frac{10}{0}=$অসজ্ঞায়িত

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{5-x}{5+x}$

মনে করি, $y=f\left(x\right)=\frac{5-x}{5+x}$

বা,  $5y + xy = 5-x$

বা, $xy + x = 5 - 5y$

বা, $x(1 + y) = 5 - 5y$

বা, $x=\frac{5-5y}{1+y}=\frac{5(1-y)}{1+y}$

বা, $f^{-1}\left(y\right)=\frac{5 (1-y)}{1+y}$

$\therefore$ $f^{-1}\left(x\right)=\frac{5 (1-x)}{1+x}$

$\therefore$f(x) এর বিপরীত ফাংশন $\frac{5 (1-x)}{1+x}$

ধরি, $y= g\left(x\right)=\ln \frac{3+x}{3-x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\frac{3+x}{3-x}>0$ যদি $\left(i\right) 3 + x > 0$ এবং $3 - x > 0$ হয়

অথবা, $\left(2\right) 3 + x < 0$ এবং $3 - x < 0$ হয়,

(1)নং হতে পাই, $x>-3$ এবং $-x>-3$

বা,  $x > - 3$ এবং $x < 3$

$\therefore$ ডোমেন$=\{ x :-3<x\} \cap \left\{x :x<3\right\}$

$=\left(-3,\infty \right) \cap \left(-\infty , 3\right)=(-3,3)$

(2)নং হতে পাই,

$x<-3$ এবং $-x<-3$

বা, $x<-3$ এবং $x>3$

$\therefore$ ডোমেন = $\{ x : x <-3\} \cap \{ x : x >3\} =\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন $D_f$= (1) ও (2) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-3,3)\cup \varnothing =(-3, 3)$

রেঞ্জ:  $y=g \left(x\right)=\ln \frac{3+x}{3-x}$

বা, $e^y=\frac{3+x}{3-x}$

বা, $3+x=3e^y-x{e}^y$

বা, $x(1+e^y)=3(e^y-1)$

বা, $x=\frac{3( e^y-1)}{e^y+1}$

y-এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়।

প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ $R_f=R$

নির্ণেয় ডোমেন  $D_f=(-3,3)$ এবং রেঞ্জ $R_f=R$