f(x) = cos x এবং ∠A = 75° 50′ 25"

দেওয়া আছে, ∠A $={75}^{°}{50}^{\text{'}}{25}^{\text{'}\text{'}}= {\left(75+\frac{50}{60}+\frac{25}{3600}\right)}^{°}$

$={\left(\frac{270000+3000+25}{3600}\right)}^{°}={\left(\frac{273025}{3600}\right)}^{°}={\left(\frac{10921}{144}\right)}^{°}$

$=\left(\frac{10921}{144}\times 180\right)$ রেডিয়ান = 1.3237 রেডিয়ান (প্রায়)

$\therefore$ ∠A এর বৃত্তীয় মান 1.3237 রেডিয়ান (প্রায়)।

দেওয়া আছে, f(x) = cos x

$f\left(\theta \right) = \cos \theta$

এবং $f(90°- \theta ) = \cos (90° -\theta ) = \sin \theta$

এবং $a f\left(\theta \right) - b f(90° - \theta ) = c$ বা,  $a \cos \theta - b \sin \theta = c$

বা, $a^2{\cos }^2\theta -2ab \sin \theta \cos \theta +b^2{\sin }^2\theta =c^2$ [বর্গ করে] _______ (ii)

ধরি, $a f(90°- \theta ) + b f\left(\theta \right) =x$ বা, $a \sin \theta + b \cos \theta = x$

বা, $a^2{\sin }^2\theta +2ab sin\theta cos\theta +b^{2}co{s}^2\theta =x^2$ [বর্গ করে] _______ (i)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$a^{2}co{s}^2\theta -2absin\theta cos\theta +b^{2}si{n}^2\theta +a^{2}si{n}^2\theta + 2ab sin\theta cos\theta +b^{2}co{s}^2\theta =c^2+x^2$

বা, $a^2(co{s}^2\theta +si{n}^2\theta )+b^2(si{n}^2\theta +co{s}^2\theta )=c^2+x^2$

বা, $a^2\times 1+b^2\times 1=c^2+x^2$

বা, $a^2+b^2=c^2+x^2$

বা, $x^2=a^2+b^2-c^2$

বা, $x=\pm \sqrt{(a^2+b^2-c^2)}$

$\therefore$ $a f(90°-\theta )+b f\left(\theta \right)=\pm \sqrt{(a^2+b^2-c^2)}$(দেখানো হলো)

'খ' হতে প্রাপ্ত, $f\left(\theta \right)=cos\theta$ এবং $f(90°+\theta )=sin \theta$

এখানে, $f\left(\theta \right) + f(90°- \theta ) = \sqrt{2}$ ; $0° <\theta <360°$

বা, $\cos \theta + \sin \theta =\sqrt{2}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{2}- \cos \theta$

বা, $(sin\theta {)}^2={\left(\sqrt{2}-\cos \theta \right)}^2$

বা, ${\sin }^2\theta ={\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}\cos \theta +{\cos }^2\theta$

বা, $1-co{s}^2\theta =2-2\sqrt{2}\cos \theta +co{s}^2\theta$

বা, $1-co{s}^2\theta -2+2\sqrt{2}cos \theta -co{s}^2\theta =0$

বা, $-2co{s}^2\theta +2\sqrt{2}cos \theta -1=0$

বা, $2co{s}^2\theta -2\sqrt{2}cos \theta +1=0$

বা, ${\left(\sqrt{2} \cos \theta \right)}^2-2\sqrt{2 }\cos \theta +1=0$

বা, ${\left(\sqrt{2} \cos \theta -1\right)}^2=0$

বা, $\sqrt{2} \cos \theta - 1 = 0$

বা, $\sqrt{2} \cos \theta = 1$

বা, $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos \theta = \cos 45°$

$\therefore$ $\theta = 45°$গ্রহণযোগ্য কারণ $0°<\theta <360°$

আবার, $\cos \theta = \cos (360 - 45°)$

$\theta$ = 315°  গ্রহণযোগ্য নয় কারণ এটি সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।

নির্ণেয় সমাধান $\theta$ = 45°