$(i) y^{2} = x z; (i i) p = 26$ মিটার এবং q = 10 মিটার।

Created: 7 months ago | Updated: 7 months ago

Updated: 7 months ago

(i) হতে দেখাও যে, $\frac{x y z {(x + y + z)}^{3}}{{(x y + y z + z x)}^{3}}$ = 1

উত্তরঃ

দেওয়া আছে $y^{2} = x z$

বামপক্ষ $= \frac{x y z (x + y + z)^{3}}{(x y + y z + z x)^{3}} = \frac{x y z (x + y + z)^{3}}{(x y + y z + y^{2})^{3}}$ $[y^{2} = x z$ বসিয়ে]

$= \frac{x y z (x + y + z)^{3}}{{y (x + y + z)}^{3}} = \frac{x y z (x + y + z)^{3}}{y^{3} (x + y + z)^{3}}$

$= \frac{x y z}{y^{3}} = \frac{x z}{y^{2}} = \frac{y^{2}}{y^{2}} = 1$

= ডানপক্ষ

$\frac{x y z (x + y + z)^{3}}{(x y + y z + z x)^{3}}$ = 1 (দেখানো হলো)

Md Zahid Hasan

6 months ago

(খ)

$\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2} + z^{2}}$ = $\frac{{(x + y)}^{2}}{{(y + z)}^{2}}$ হলে, উদ্দীপকের আলোকে (i) নং প্রতিষ্ঠিত কর।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে , $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2} + z^{2}} = \frac{(x + y)^{2}}{(y + z)^{2}}$

বা, $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2} + z^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{y^{2} + 2 y z + z^{2}}$

বা, $(x^{2} + y^{2}) (y^{2} + 2 y z + z^{2}) = (y^{2} + z^{2}) (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

বা, $x^{2} y^{2} + 2 x^{2} y z + x^{2} z^{2} + y^{4} + 2 y^{3} z + y^{2} z^{2} = x^{2} y^{2} + 2 x y^{3} + y + x^{2} z^{2} + 2 x y z^{2} + y^{2} z^{2}$

বা, $2 x^{2} y z + 2 y^{3} z = 2 x y^{3} + 2 x y z^{2}$

বা, $2 y z (x^{2} + y^{2}) = 2 x y (y^{2} + z^{2})$

বা, $z (x^{2} + y^{2}) = x (y^{2} + z^{2})$ [উভয় পক্ষকে 2y দ্বারা ভাগ করে]

বা, $x^{2} z + y^{2} z = x y^{2} + x z^{2}$

বা, $y^{2} z - x y^{2} = x z^{2} - x^{2} z$

বা, $y^{2} (z - x) = x z (z - x)$

$∴$ $y^{2} = x z$ [(i) নং প্রতিষ্ঠিত হলো]

Md Zahid Hasan

6 months ago

(গ)

যদি p ও q এর মানকে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বিবেচনা করা হয়, তবে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 20% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে তা নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, p = 26 মিটার এবং q = 10 মিটার

p ও q এর মানকে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বিবেচনা করা হলে,

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (26 $\times$ 10) বর্গমিটার = 260 বর্গমিটার

আবার, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পেলে পরিবর্তিত দৈর্ঘ্য = 26 মিটার + 26 $\times$ $\frac{10}{100}$ মিটার

= 26 মিটার + 2.6 মিটার = 28.6 মিটার

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 20% হ্রাস পেলে পরিবর্তিত প্রস্থ

= 10 মিটার - 10 $\times$ $\frac{20}{100}$ মিটার

= 10 মিটার 2 মিটার = 8 মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল= (28.6 $\times$ ৪) বর্গমিটার = 228.8 বর্গমিটার

অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় (260 – 228.8) বর্গমিটার = 31.2 বর্গমিটার

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পায় = $(\frac{31.2 \times 100}{260})$ বর্গমিটার = 12 বর্গমিটার

$∴$ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 12% হ্রাস পায়।

Md Zahid Hasan

6 months ago

CQ: 76

Related Question

View All

(ক)

দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3: 7 এবং ল. সা. গু. 168 হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

এসএসসি গণিত ময়মনসিংহ বোর্ড - 2024 ধারাবাহিক অনুপাত ও সমানুপাতিক ভাগ

1.1k

উত্তরঃ

প্রশ্নের শেষ অংশে দেওয়া আছে যে, দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩:৭ এবং তাদের ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) ১৬৮। এখন, এই দুইটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।

ধরা যাক, সংখ্যাগুলো হলো $ 3x $ এবং $ 7x $, যেখানে $ x $ একটি সাধারণ গুণনীয়ক।

তাহলে তাদের ল.সা.গু. হবে:

\[
\text{ল.সা.গু.} = 3 \times 7 \times x = 21x
\]

প্রশ্নে বলা আছে ল.সা.গু. ১৬৮। সুতরাং:

\[
21x = 168
\]

এখন, $ x $ এর মান বের করলে:

\[
x = \frac{168}{21} = 8
\]

সুতরাং, দুইটি সংখ্যা হবে:

\[
3x = 3 \times 8 = 24
\]
\[
7x = 7 \times 8 = 56
\]

অতএব, দুইটি সংখ্যা হলো ২৪ এবং ৫৬।

Najjar Hossain Raju

1 year ago

1.1k

(ক)

$A : B = \frac{1}{2}, B : C = \frac{3}{4}$ এবং C : D = $\frac{5}{6}$ হলে A : B : C : D = কত?

এসএসসি গণিত ময়মনসিংহ বোর্ড - 2025 ধারাবাহিক অনুপাত ও সমানুপাতিক ভাগ

350

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

\[ A : B = \frac{1}{2} = 1 : 2 \]

\[ B : C = \frac{3}{4} = 3 : 4 \]

\[ C : D = \frac{5}{6} = 5 : 6 \]

আমরা A : B : C নির্ণয় করি:

\[ A : B = 1 : 2 \]

\[ B : C = 3 : 4 \]

B এর মান সমান করার জন্য, প্রথম অনুপাতকে 3 দ্বারা এবং দ্বিতীয় অনুপাতকে 2 দ্বারা গুণ করি:

\[ A : B = (1 \times 3) : (2 \times 3) = 3 : 6 \]

\[ B : C = (3 \times 2) : (4 \times 2) = 6 : 8 \]

সুতরাং, \[ A : B : C = 3 : 6 : 8 \]

এখন, A : B : C : D নির্ণয় করি:

\[ A : B : C = 3 : 6 : 8 \]

\[ C : D = 5 : 6 \]

C এর মান সমান করার জন্য, প্রথম অনুপাতকে 5 দ্বারা এবং দ্বিতীয় অনুপাতকে 8 দ্বারা গুণ করি:

\[ A : B : C = (3 \times 5) : (6 \times 5) : (8 \times 5) = 15 : 30 : 40 \]

\[ C : D = (5 \times 8) : (6 \times 8) = 40 : 48 \]

অতএব, \[ A : B : C : D = 15 : 30 : 40 : 48 \]

Satt AI

5 days ago

350

(ক)

8 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে 4 : 3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত কর।

এসএসসি গণিত যশোর বোর্ড - 2025 ধারাবাহিক অনুপাত ও সমানুপাতিক ভাগ

135

Add Explanation

135

(১)

ধারাবাহিক অনুপাত কী? (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি গণিত ধারাবাহিক অনুপাত ও সমানুপাতিক ভাগ

186

উত্তরঃ

ক : খ এবং খ : গ আকারের অনুপাত দুইটিকে সাধারণত ক : খ : গ আকারে লেখা হয়। একে ধারাবাহিক অনুপাত বলে। যেকোনো দুই বা ততোধিক অনুপাতকে এই আকারে প্রকাশ করা যায়। দুইটি অনুপাতকে ক : খ :গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশি দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান হতে হয়।

Md Zahid Hasan

7 months ago