$\frac{x^2+y^2}{y^2+z^2}$ = $\frac{{\left(x + y\right)}^2}{{\left(y+z\right)}^2}$হলে, উদ্দীপকের আলোকে (i) নং প্রতিষ্ঠিত কর।

প্রশ্নের শেষ অংশে দেওয়া আছে যে, দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩:৭ এবং তাদের ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) ১৬৮। এখন, এই দুইটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।

ধরা যাক, সংখ্যাগুলো হলো \( 3x \) এবং \( 7x \), যেখানে \( x \) একটি সাধারণ গুণনীয়ক।

তাহলে তাদের ল.সা.গু. হবে:

\[
\text{ল.সা.গু.} = 3 \times 7 \times x = 21x
\]

প্রশ্নে বলা আছে ল.সা.গু. ১৬৮। সুতরাং:

\[
21x = 168
\]

এখন, \( x \) এর মান বের করলে:

\[
x = \frac{168}{21} = 8
\]

সুতরাং, দুইটি সংখ্যা হবে:

\[
3x = 3 \times 8 = 24
\]
\[
7x = 7 \times 8 = 56
\]

অতএব, দুইটি সংখ্যা হলো ২৪ এবং ৫৬।

দেওয়া আছে,

\[ A : B = \frac{1}{2} = 1 : 2 \]

\[ B : C = \frac{3}{4} = 3 : 4 \]

\[ C : D = \frac{5}{6} = 5 : 6 \]

আমরা A : B : C নির্ণয় করি:

\[ A : B = 1 : 2 \]

\[ B : C = 3 : 4 \]

B এর মান সমান করার জন্য, প্রথম অনুপাতকে 3 দ্বারা এবং দ্বিতীয় অনুপাতকে 2 দ্বারা গুণ করি:

\[ A : B = (1 \times 3) : (2 \times 3) = 3 : 6 \]

\[ B : C = (3 \times 2) : (4 \times 2) = 6 : 8 \]

সুতরাং, \[ A : B : C = 3 : 6 : 8 \]

এখন, A : B : C : D নির্ণয় করি:

\[ A : B : C = 3 : 6 : 8 \]

\[ C : D = 5 : 6 \]

C এর মান সমান করার জন্য, প্রথম অনুপাতকে 5 দ্বারা এবং দ্বিতীয় অনুপাতকে 8 দ্বারা গুণ করি:

\[ A : B : C = (3 \times 5) : (6 \times 5) : (8 \times 5) = 15 : 30 : 40 \]

\[ C : D = (5 \times 8) : (6 \times 8) = 40 : 48 \]

অতএব, \[ A : B : C : D = 15 : 30 : 40 : 48 \]

ক : খ এবং খ : গ আকারের অনুপাত দুইটিকে সাধারণত ক : খ : গ আকারে লেখা হয়। একে ধারাবাহিক অনুপাত বলে। যেকোনো দুই বা ততোধিক অনুপাতকে এই আকারে প্রকাশ করা যায়। দুইটি অনুপাতকে ক : খ :গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশি দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান হতে হয়।

এখানে, ক : খ $=7 : 10 = \frac{7}{10}=\frac{7 \times 6}{10 \times 6}= \frac{42}{60}= \frac{42}{60}$

$খ : গ =12 : 17=\frac{12}{17}=\frac{12\times 5}{17\times 5}=\frac{60}{85}=60 : 85$

$\therefore$ ক : খ : গ = 42 : 60 : 85

এখানে,

a : b = 5 : 7  $=\frac{5}{7}=\frac{5 \times 4}{7 \times 4}= 20 : 28$

$b : c=4 : 9=\frac{4}{9}=\frac{4 \times 7}{9 \times 7}=\frac{28}{63}= 28 : 63$

$\therefore$ $a : b : c=20 : 28 : 63$