(i) অনুসারে সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 15 সে.মি.।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\frac{\text{পরিসীমা}}{3}\)।

সুতরাং, ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \( = \frac{15}{3} = 5 \) সে.মি.।

আবার, আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2\) বর্গ একক।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (5)^2 \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 \)

\( = \frac{25\sqrt{3}}{4} \) বর্গ সে.মি.।

একটি সমবাহু ত্রিভুজ হলো এমন একটি ত্রিভুজ যার তিনটি বাহু সমান দৈর্ঘ্যের এবং তিনটি কোণও সমান (প্রতিটি \(60^\circ\))। এর পরিসীমা হলো তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য একটি নির্দিষ্ট সূত্র \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) ব্যবহার করা হয়, যেখানে 'a' হলো বাহুর দৈর্ঘ্য। এই সূত্রটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং ত্রিকোণমিতির সাহায্যে প্রমাণ করা যায়।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) মিটার।

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \) বর্গমিটার।

বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার বাড়ালে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য \( = (a+4) \) মিটার।

নতুন ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( = \frac{\sqrt{3}}{4}(a+4)^2 \) বর্গমিটার।

প্রশ্নমতে,

\(\frac{\sqrt{3}}{4}(a+4)^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 30\sqrt{3}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{4}((a+4)^2 - a^2) = 30\sqrt{3}\)

উভয়পক্ষকে \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\((a+4)^2 - a^2 = 30\sqrt{3} \times \frac{4}{\sqrt{3}}\)

\((a^2 + 8a + 16) - a^2 = 120\)

\(8a + 16 = 120\)

\(8a = 120 - 16\)

\(8a = 104\)

\(a = \frac{104}{8}\)

\(a = 13\)

সুতরাং, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 13 মিটার।

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{4}(13)^2 \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 169 \)

\( = \frac{169\sqrt{3}}{4} \) বর্গমিটার।

উত্তর: \(\frac{169\sqrt{3}}{4}\) বর্গমিটার।

ধরি,

ত্রিভুজের ১ম বাহুর দৈর্ঘ্য, \(a = 19\text{ সে.মি.}\)

ত্রিভুজের ২য় বাহুর দৈর্ঘ্য, \(b = 20\text{ সে.মি.}\)

এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, \(\theta = 45^\circ\)

আমরা জানি,

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} ab \sin\theta \)

\( = \frac{1}{2} \times 19 \times 20 \times \sin 45^\circ\text{ বর্গ সে.মি.} \)

\( = 190 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\text{ বর্গ সে.মি.} \)

\( = \frac{190}{\sqrt{2}}\text{ বর্গ সে.মি.} \)

\( = 95\sqrt{2}\text{ বর্গ সে.মি.} \)

\( \approx 134.35\text{ বর্গ সে.মি. (প্রায়)} \)

উত্তর: \(95\sqrt{2}\text{ বর্গ সে.মি.}\) বা \(134.35\text{ বর্গ সে.মি. (প্রায়)}\)