(ii) নং উদ্দীপকের আলোকে সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 15 সে.মি.।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\frac{\text{পরিসীমা}}{3}\)।

সুতরাং, ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \( = \frac{15}{3} = 5 \) সে.মি.।

আবার, আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2\) বর্গ একক।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (5)^2 \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 \)

\( = \frac{25\sqrt{3}}{4} \) বর্গ সে.মি.।

একটি সমবাহু ত্রিভুজ হলো এমন একটি ত্রিভুজ যার তিনটি বাহু সমান দৈর্ঘ্যের এবং তিনটি কোণও সমান (প্রতিটি \(60^\circ\))। এর পরিসীমা হলো তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য একটি নির্দিষ্ট সূত্র \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) ব্যবহার করা হয়, যেখানে 'a' হলো বাহুর দৈর্ঘ্য। এই সূত্রটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং ত্রিকোণমিতির সাহায্যে প্রমাণ করা যায়।

ধরি,

ত্রিভুজের ১ম বাহুর দৈর্ঘ্য, \(a = 19\text{ সে.মি.}\)

ত্রিভুজের ২য় বাহুর দৈর্ঘ্য, \(b = 20\text{ সে.মি.}\)

এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, \(\theta = 45^\circ\)

আমরা জানি,

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} ab \sin\theta \)

\( = \frac{1}{2} \times 19 \times 20 \times \sin 45^\circ\text{ বর্গ সে.মি.} \)

\( = 190 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\text{ বর্গ সে.মি.} \)

\( = \frac{190}{\sqrt{2}}\text{ বর্গ সে.মি.} \)

\( = 95\sqrt{2}\text{ বর্গ সে.মি.} \)

\( \approx 134.35\text{ বর্গ সে.মি. (প্রায়)} \)

উত্তর: \(95\sqrt{2}\text{ বর্গ সে.মি.}\) বা \(134.35\text{ বর্গ সে.মি. (প্রায়)}\)