(i) একটি লোহার পাইপের অন্তঃস্থ ও বহিঃস্থ ব্যাস যথাক্রমে সে.মি. 16 ও 18 সে.মি. এবং পাইপের উচ্চতা 4.5 সে.মি.।

(ii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহু 4 মিটার বর্ধিত করলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $7\sqrt{3}$ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়।

দেওয়া আছে, সিলিন্ডারের ব্যাস 10 সে.মি.

∴ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, $r=\frac{10}{2}$সে.মি. = 5 সে.মি.

এবং উচ্চতা, h = 6 সে.মি.

∴ সিলিন্ডারের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\mathrm{\pi }r(r + h)$ বর্গ একক

$= 2 \times 3.1416 \times 5(5 + 6)$ বর্গ একক

$= 2 \times 3.1416 \times 5 \times 11$ বর্গ সে.মি.

= 345.576 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 345.576 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, লোহার পাইপের অন্তঃস্থ ব্যাস = 16 সে.মি.

∴ লোহার পাইপের অন্তঃস্থ ব্যাসার্ধ, $r_1=\frac{16}{2}$ সে.মি. = 8 সে.মি.

∴ লোহার পাইপের বহিঃস্থ ব্যাস 18 সে.মি.

∴ লোহার পাইপের বহিঃস্থ ব্যাসার্ধ,  $r_2=\frac{18}{2}$সে.মি. = 9 সে.মি.

এবং লোহার পাইপের উচ্চতা h = 4.5 সে.মি.

∴ পাইপে লোহার আয়তন $={{\mathrm{\pi r}}_2}^2\mathrm{h}-{{\mathrm{\pi r}}_1}^2\mathrm{h}$

$=\pi h \left({r_2}^2-{r_1}^2\right)$ ঘন একক

$= 3.1416 \times 4.5 \times (9^2– 8^2)$ ঘন সে.মি.

$= 3.1416 \times 4.5 \times (81-64)$ ঘন সে.মি.

$= 3.1416 \times 4.5 \times 17$ ঘন সে.মি.

= 240.3324 ঘন সে.মি. (প্রায়)

এখানে, 1 ঘন সে.মি. লোহার ওজন 7.2 গ্রাম

∴ 240.3324 ঘন সে.মি. লোহার ওজন = (240.3324 $\times$ 7.2) গ্রাম

= 1730.39328 গ্রাম

$=\frac{1730.39328}{1000}$ কিলোগ্রাম

[$\because$ 1 কিলোগ্রাম 1000 গ্রাম]

= 1.73 কিলোগ্রাম (প্রায়)

নির্ণেয় লোহার পাইপের ওজন 1.73 কিলোগ্রাম (প্রায়)।

মনে করি,

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার

∴  “            ”          “  ক্ষেত্রফল  $=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$ বর্গমিটার

ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার বাড়ালে প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য (x + 4) মিটার

এবং ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(x+4\right)}^2$ বর্গমিটার।

শর্তানুসারে, $=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(x+4\right)}^2-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=7\sqrt{3}$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{4}\left\{\left(x+4\right)-x^2\right\}=7\sqrt{3}$

বা, $\left(x+4\right)-x^2=\frac{7\sqrt{3}\times 4}{\sqrt{3}}$

বা, $x^2+8x+16-x^2=28$

বা, 8x = 28 - 16

বা, 8x = 12

বা, x = $\frac{12}{8}$

বা, x = 1.5

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি = 3x মিটার

= (3 $\times$ 1.5) মিটার = 4.5 মিটার

নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি 4.5 মিটার।