$∆$ LMN এর MN, NL ও LM এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R এবং MN=14 cm.

Created: 6 months ago | Updated: 6 months ago

Updated: 6 months ago

(ক)

যদি কোন গোলকের ব্যাস MN হয় তবে তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, MN=14 cm

গোলকের ব্যাস =14 cm

গোলকের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{14}{2} = 7$ cm

গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= $4 {πr}^{2}$ বর্গ একক

$= 4 x 3.1416 x 7^{2}$ বর্গ একক

$= 615.75 {cm}^{2}$ বর্গ একক

Affan Ahmed

6 months ago

(খ)

প্রমাণ কর যে, $\vec{L P} + \vec{M Q} + \vec{N R} = 0$

উত্তরঃ

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$∆ L M Q$ হতে পাই,

$\vec{L M} + \vec{M Q} + \vec{L Q} = \frac{1}{2} \vec{L N}$

$\vec{L N} = 2 \vec{L M} + 2 \vec{M Q} . . . . . . . (1)$

$∆ L M N$ হতে পাই, $\vec{L M} + \vec{M N} = \vec{L N}$

বা, $\vec{M N} = \vec{L N} - \vec{L M}$

বা, $\vec{M N} = \vec{2 L M} + \vec{2 M Q} - \vec{L M}$

$∆ L M P$ হতে পাই, $\vec{L M} + \vec{M N} = \vec{L N}$

বা, $\vec{M N} = \vec{L N} - \vec{L M}$

বা, $\vec{M N} = \vec{2 L M} + \vec{2 M Q} - \vec{L M}$

$\vec{M N} = \vec{L M} + \vec{2 M Q} . . . . . . . . (2)$

$∆ L M N$ হতে পাই, $\vec{L M} + \vec{M P} = \vec{L P}$

বা, $\vec{N R} = \frac{1}{2} \vec{L M} - (\vec{2 L M} + \vec{2 M Q})$

$\vec{N R} = - \frac{3}{2} \vec{L M} - \vec{2 M Q} . . . . . . . . . (4)$

এখন, বামপক্ষ $= \vec{L P} + \vec{M Q} + \vec{N R}$

$= (\frac{3}{2} \vec{L M} + \vec{M Q}) + \vec{M Q} + (- \frac{3}{2} \vec{L M} - 2 \vec{M Q})$ [(3) ও (4) হতে]

$= \frac{3}{2} \vec{L M} + \vec{2 M Q} - \frac{3}{2} + \vec{L M} - \vec{2 M Q} = 0$ = ডানপক্ষ

$∴$ $\vec{L P} + \vec{M Q} + \vec{N R} = 0$ (প্রমাণিত)

Affan Ahmed

6 months ago

(গ)

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, R বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত MN এর সমান্তরাল রেখা অবশ্যই Q বিন্দুগামী হবে।

উত্তরঃ

এখানে, $∆ L M N$ এর R, LM এর মধ্যবিন্দু এবং RQ॥ MN. প্রমাণ করতে হবে যে, R. বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত MN এর সমান্তরাল রেখা অবশ্যই Q বিন্দুগামী হবে।

প্রমাণ: মনে করি, Q নয় বরং S, LN এর মধ্যবিন্দু।

তাহলে, $\vec{L R} = \frac{1}{2} \vec{L M}$ এবং $L S = \frac{1}{2} \vec{L N}$

$∆ L M N$ এ $\vec{L M} + \vec{M N} = \vec{L N}$ [ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে।]

$\vec{M N} = \vec{L N} - \vec{L M} . . . . . . . (1)$

$∆ L R S$ হতে পাই, $\vec{L R} + \vec{R S} = \vec{L S}$

বা, $\vec{R S} = \vec{L S} - \vec{L R} - \frac{1}{2} \vec{L N} - \frac{1}{2} \vec{L M} = \frac{1}{2} (\vec{L N} - \vec{L M})$

বা, $\vec{R S} = \frac{1}{2} \vec{M N}$

$\vec{R S}$ ও $\vec{M N}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারকরেখা একই বা সমান্তরাল হবে কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়।

সুতরাং $\vec{R S}$ ও $\vec{M N}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ RS ও MN সমান্তরাল।

অর্থাৎ $R S ∥ M N$ কিন্তু $R Q ॥ M N .$

$∴$ RS ও RQ অভিন্ন রেখা। অর্থাৎ ৪ ও Q একই বিন্দু হবে।

$∴$ Q, LN এর মধ্যবিন্দু।

অতএব, R বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত MN এর সমান্তরাল রেখা অবশ্যই Q বিন্দুগামী। (প্রমাণিত)

Affan Ahmed

6 months ago

MCQ: 224 CQ: 101

Practice

Related Question

View All

(১)

স্কেলার রাশি কাকে বলে? উদাহরণ দাও।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত সমতলীয় ভেক্টর

117

উত্তরঃ

যে রাশি কেবলমাত্র এককসহ পরিমাণ দ্বারা অথবা পরিমাণের পূর্বে + বা চিহ্নযুক্ত করে সম্পূর্ণরূপে বুঝানো যায়, তাকে স্কেলার রাশি বলে। অর্থাৎ, যে রাশির শুধু মান আছে কিন্তু কোনো দিক নেই তাকে স্কেলার রাশি বলে। যেমন: দৈর্ঘ্য, ভর, আয়তন, দ্রুতি, তাপমাত্রা ইত্যাদি প্রত্যেকেই স্কেলার রাশি।

Md Zahid Hasan

6 months ago

117

(২)

ভেক্টর রাশি কাকে বলে? উদাহরণ দাও।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত সমতলীয় ভেক্টর

139

উত্তরঃ

যে রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য তার পরিমাণ ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয়, 'তাকে ভেক্টর রাশি বলে। অর্থাৎ যে রাশির মান এবং নির্দিষ্ট দিক উভয়ই রয়েছে, তাকে ভেক্টর রাশি বলে। যেমন: বেগ, সরণ, ত্বরণ, ওজন, বল ইত্যাদি প্রত্যেকেই ভেক্টর রাশি।

Md Zahid Hasan

6 months ago

139

(৩)

দিক নির্দেশক রেখাংশ কাকে বলে?

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত সমতলীয় ভেক্টর

115

উত্তরঃ

কোনো রেখাংশের এক প্রান্তকে আদিবিন্দু এবং অপর প্রান্তকে অন্তবিন্দু- হিসেবে চিহ্নিত করলে ঐ রেখাংশকে একটি দিক নির্দেশক রেখাংশ বলে। কোনো দিক নির্দেশক রেখাংশের আদি বিন্দু A এবং অন্তবিন্দু B হলে ঐ দিক নির্দেশক রেখাংশকে $\vec{A B}$ দ্বারা সূচিত করা হয়।

Md Zahid Hasan

6 months ago

115

(৪)

ভেক্টরের ধারক রেখা বলতে কী বোঝ?

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত সমতলীয় ভেক্টর

303

উত্তরঃ

কোনো ভেক্টর (দিক নির্দেশক রেখাংশ) যে অসীম সরলরেখার অংশ বিশেষ, তাকে ঐ ভেক্টরের ধারক রেখা বা শুধু ধারক বলা হয়। যেমন: একটি অসীম সরলরেখা যেকোনো দুটি বিন্দু A ও B নিয়ে গঠিত ভেক্টর $\vec{A B}$ এর ধারক রেখা হবে ঐ অসীম সরলরেখাটি।

Md Zahid Hasan

6 months ago