Given that, 2x+4-4.2x+12x+2-1=2x×24-4×2x×212x+221 =16×2x-8×2x2x+2-1=8×2x2x+1=8×2x2x×21=8×2x2x×2=4 Let, the capacity of the tank be x liters. By 1st pipe In 15 minutes pipe fill=x part of the

Mathematics

Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

324

(a)

What is the value of $\frac{2^{x + 4} - {4.2}^{x + 1}}{2^{x + 2} + 2} = ?$

উত্তরঃ

$G i v e n t h a t, \frac{2^{x + 4} - 4 . 2^{x + 1}}{2^{x + 2 - 1}} = \frac{2^{x} \times 2^{4} - 4 \times 2^{x} \times 2^{1}}{\frac{2^{x + 2}}{2^{1}}} = \frac{16 \times 2^{x} - 8 \times 2^{x}}{2^{x + 2 - 1}} = \frac{8 \times 2^{x}}{2^{x + 1}} = \frac{8 \times 2^{x}}{2^{x} \times 2^{1}} = \frac{8 \times 2^{x}}{2^{x \times 2}} = 4$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(b)

A pipe can fill up an empty tank in 15 minutes. Another pipe flows out 20 liter of water per minute. If the two pipes are opened together and the empty tank is filled in 135 minutes, how much water does the tank contain?

উত্তরঃ

$L e t, t h e c a p a c i t y o f t h e \tan k b e x l i t e r s . B y 1 s t p i p e I n 15 m i n u t e s p i p e f i l l = x p a r t o f t h e \tan k ∴ I n 1 m i n u t e p i p e f i l l = \frac{x}{15} p a r t o f t h e \tan k$

$A c c o r d i n g t o q u e s t i o n, 135 (\frac{x}{15} - 20) = x = 135 (\frac{x - 300}{15}) = x = 9 (x - 300) = x = 9 x - 2700 = x = 8 x = 2700 ∴ x = \frac{2700}{8} = 337.5 l i t e r s ∴ T h e c a p a c i t y o f t h e \tan k i s 337.5 l i t e r s .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(c)

Ms. Wazaiha invested a total amount of BDT 50,000 in two honds namely BEXIMCO and DBBL that pay annual interest at the rate of 6.5% and 9%, respectively. If she likes to receive BDT 4,000 as interest income, how much should she invest in each bond?

উত্তরঃ

$L e t, s h e s h o u l d i n v e s t x T k . i n B E X I M C O ∴ S h e s h o u l d i n v e s t = (50000 - x) T k i n D B B L A c c o r d i n g t o q u e s t i o n 6.5 % o f x + 9 % o f (50000 - x) = 4000 = \frac{6.5 c}{100} + \frac{9 (50000 - x)}{100} = 4000 = 6.5 x + 450000 - 9 x = 4000000 = 6.5 x - 9 x = 450000 - 4000000 = 2.5 x = 50000 ∴ x = \frac{50000}{2.5} = 20000$

$∴ T h e a m o u n t o f B E X I M C O b o n d b e 20, 000 T k . ∴ D B B L a m o u n t w o u l d b e = 50000 - 20000 = 30000 T k .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(d)

Faiyaz and Ehan are standing 90 yards apart on a north-south axis, Faiyaz walks 70 yards to west. Ehan walks 50 yards to the east, and then both stop. What is the straight-line distance in yards between them now?

উত্তরঃ

$L e t, u s d e p i c t t h e i m a g e a c c o r d i n g t o q u e s t i o n : N o w, F a i y a z s \tan d s a t p o i n t A A n d E h a n s \tan d s a t p o i n t C H e r e, d i r e c t d i s \tan c e b e t w e e n t h e m i s A C △ A B C i s a r i g h t a n g l e t r i a n g l e w h e r e A C = H y p o t e n u s e$

$∴ A p p l y i n g P y t h a g o r e a n t h e o r e m, w e g e t {(A C)}^{2} = {(A B)}^{2} + {(B C)}^{2} = {(A C)}^{2} = {(50 + 70)}^{2} + {(90)}^{2} = {(120)}^{2} + {(90)}^{2} = {(A C)}^{2} = 14400 + 8100 = 22500 = {(150)}^{2} ∴ A C = 150 ∴ T h e s t r a i g h t d i s \tan c e b e t w e e n F a i y a z a n d E h a n i s 150 y a r d s .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(e)

Suppose the number of people in Cumilla city is 1 million. If the number of males increases by 10% and the number of females decreases by 6%, then the number of people in city remains unchanged. What are the numbers of male and female in that city?

উত্তরঃ

$L e t, n u m b e r o f m a l e b e x ∴ N u m b e r o f f e m a l e b e = (1000000 - x) A c c o r d i n g t o q u e s t i o n 110 % o f x + 94 % o f (1000000 - x) = 1000000 = \frac{110 X}{100} + \frac{94 (1000000 - X)}{100} = 1000000 = \frac{11 X}{10} + \frac{9.4 (1000000 - X)}{10} = 1000000 = 11 X + 9400000 - 9.4 X = 10000000 = 1.6 X = 10000000 - 9400000 = 600000 ∴ X = \frac{600000}{1.6} = 375000 ∴ N u m b e r o f m a l e = 3, 75, 000 ∴ N u m b e r o f f e m a l e = 10, 00, 000 - 3, 75, 000 = 6, 25, 000$

PRONAY TIRKI

2 years ago

324

MCQ: 1.8k CQ: 286

Practice

নল ও চৌবাচ্চা (Pipes and cistern)

নল ও চৌবাচ্চা (Pipes and Cistern)

নল ও চৌবাচ্চা অধ্যায়ে পানির ট্যাংক (চৌবাচ্চা) ভরাট করা বা খালি করার সময় নলগুলোর কাজের হার নিয়ে আলোচনা করা হয়। এটি মূলত “সময় ও কাজ” অধ্যায়ের একটি বিশেষ প্রয়োগ।

১: দুজন কাজ করলে বা দুটি নল থাকলে

(১-ক) দু জন ব্যক্তি অথবা দুটি নলের একত্রে কাজ:
- শর্টকাট: Single + Single = Together = $\frac{A \times B}{A + B}$ days.
(১-খ) দুজনের একসাথে কাজ একজনের কাজ:
- একটি নল দ্বারা পানি ঢুকলে এবং আরেকটি দিয়ে বের হলে অথবা দুজনের কাজ থেকে একজনের কাজ বিয়োগ করলে অন্যজনকে কতদিন লাগবে তা বের হবে।
- এ ধরনের অংক খুব দ্রুত করতে চাইলে এই সূত্রটি প্রয়োগ করুন: শর্টকাট: Together - Single = Single = $\frac{A \times B}{B i g - s m a l l}$
- সূত্রের ব্যাখ্যা: উপরে দুজনের একাকী কাজ করার দিন গুণ করতে হবে এবং নিচে বড় সংখ্যাটি থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করুন।

২: দু'য়ের অধিক নল থাকলে বা দু' জনের বেশী কাজ করলে

দুজনের থেকে অধিক মানুষ কাজ করলে অথবা দুটি নলের থেকে বেশি নল থাকলে উপরের দুটি নিয়মের মতই সমাধান করতে হয়। তবে এক্ষেত্রে শর্টকার্ট সুত্রের থেকে বুঝে বুঝে কম লিখে সমাধান করলেই সময় কম লাগবে।
- Shortcut: তিনজন কাজ করলে = $\frac{A B C}{A B + B C + C A}$

৩ঃ পূর্ণ অংশ না থেকে ভগ্নাংশ দেয়া থাকলে

যে ভগ্নাংশেরই কাজের সময় বের করতে বলা হোক না কেন, প্রথমে ১ অংশ কাজ করতে কত সময় লাগবে তা বের করার পর বাকী অংশের হিসেব করতে হবে। মনে রাখবেন, ১ অংশ কাজ করার সময় $\times$ ভগ্নাংশ = ঐ ভগ্নাংশ কাজ করার সময়।

Ratio Table
ক একা করতে পারে	খ একা করতে পারে	ক + খ একত্রে করতে পারে	অনুপাত হিসেবে
১০ দিনে	১৫ দিনে	৬ দিনে	১০ : ১৫ = ৬
২০ দিনে	৩০ দিনে	১২ দিনে	২০ : ৩০ = ১২
৩০ দিনে	৪৫ দিনে	১৮ দিনে	৩০ : ৪৫ = ১৮
এভাবে আনুপাতিক হারে বাড়তে থাকলে একত্রে করার দিনও বাড়তে থাকবে

অধিকাংশ প্রশ্নগুলো এই দুটি টেবিলের সংখ্যাগুলোই বেশি ব্যবহৃত হয়। তাই মনে রাখতে পারলে সহজ হবে।
ক একা করতে পারে	খ একা করতে পারে	ক + খ একত্রে করতে পারে	অনুপাত হিসেবে
৩ দিনে	৬ দিনে	২ দিনে	৩ : ৬ = ২
৬ দিনে	১২ দিনে	৪ দিনে	৬ : ১২ = ১২
১২ দিনে	২৪ দিনে	৮ দিনে	১২ : ২৪ = ৮
এভাবে আনুপাতিক হারে বাড়তে থাকলে একত্রে করার দিনও বাড়তে থাকবে

মৌলিক ধারণা

যদি একটি নল চৌবাচ্চা ভরাট করে, তবে সেটিকে Inlet pipe বলা হয়। আর যদি একটি নল চৌবাচ্চা খালি করে, তবে সেটিকে Outlet pipe বলা হয়।

ভরাট করার নলের কাজকে ধনাত্মক (+) এবং খালি করার নলের কাজকে ঋণাত্মক (−) ধরা হয়।

মৌলিক সূত্র

নল ও চৌবাচ্চার সমস্যায় এক দিনে মোট কাজ নির্ণয় করা হয়:

মোটকাজ = ভরাটেরহার - খালিকরারহার

একটি নল যদি x দিনে ভরে

তাহলে ১ দিনে সেই নলের কাজ হবে:

$\frac{1}{x}$

ভরাট ও খালি নল একসাথে কাজ করলে

যদি একটি নল x দিনে ভরে এবং আরেকটি নল y দিনে খালি করে, তবে মোট কাজের হার হবে:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$

মোট সময় নির্ণয়

মোট সময় = ১ ÷ মোট কাজের হার

সময় $= \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ভরাট নল → ধনাত্মক কাজ (+)
খালি নল → ঋণাত্মক কাজ (−)
যত বেশি নল খালি করে, তত সময় বেশি লাগে
LCM ব্যবহার করলে হিসাব সহজ হয়

উদাহরণ

একটি নল একটি চৌবাচ্চা ১০ ঘণ্টায় ভরে। আরেকটি নল ১৫ ঘণ্টায় খালি করে। তাহলে একসাথে কাজ করলে চৌবাচ্চা ভরবে ধীরে বা কখনো খালি থাকতে পারে, যা কাজের হারের উপর নির্ভর করে।

মনে রাখার উপায়

যে নল পানি দেয় সেটি +, যে নল পানি বের করে সেটি −। মোট কাজ = (ভরাট − খালি)।

Related Question

View All

(খ)

সমাধান করুন:

18 y^{x} - y^{2 x} = 81, 3^{x} = y^{2}

BCS 43rd BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

641

উত্তরঃ

দেওয়া আছে:

\[18y^x - y^{2x} = 81 \quad \ldots(1)\]

\[3^x = y^2 \quad \ldots(2)\]

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,

ধরি, $A = y^x$।

তাহলে, $18A - A^2 = 81$

$A^2 - 18A + 81 = 0$

$(A - 9)^2 = 0$

$A = 9$

$A$ এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^x = 9 \quad \ldots(3)\]

এখন, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

$3^x = y^2$

সমীকরণ (3) কে $y$ এর জন্য সমাধান করি:

$y = 9^{\frac{1}{x}}$

$y$ এর এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

$3^x = (9^{\frac{1}{x}})^2$

$3^x = 9^{\frac{2}{x}}$

$3^x = (3^2)^{\frac{2}{x}}$

$3^x = 3^{\frac{4}{x}}$

উভয় পাশের ভিত্তি একই হওয়ায়, ঘাতগুলো সমান হবে:

$x = \frac{4}{x}$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

এখন $x$ এর দুটি মানের জন্য $y$ এর মান নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রে 1: যখন $x = 2$

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

$y^2 = 9$

$y = \pm 3$

অতএব, সমাধানগুলো হলো $(2, 3)$ এবং $(2, -3)$

ক্ষেত্রে 2: যখন $x = -2$

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

$y^{-2} = 9$

$\frac{1}{y^2} = 9$

$y^2 = \frac{1}{9}$

$y = \pm \frac{1}{3}$

অতএব, সমাধানগুলো হলো $(-2, \frac{1}{3})$ এবং $(-2, -\frac{1}{3})$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানসমূহ হলো: $(2, 3), (2, -3), (-2, \frac{1}{3}), (-2, -\frac{1}{3})$

Satt AI

1 week ago

641

(ক)

A (K, 3 K), B (K^{2}, 2 K) C (K - 2 K)

এবং D(1,1) চারটি ভিন্ন বিন্দু। যদি AB এবং CD রেখাদ্বয় সমান্তরাল হয়, তবে K এর মান কত হবে?

BCS 43rd BCS Written গণিত বিন্দুর দূরত্ব ও ঢাল নির্ণয়

343

Add Explanation

343

(ক)

যদি

a^{\frac{1}{x}} = b^{\frac{1}{y}} = c^{\frac{1}{z}}

এবং ‍abc=1 হয়, তবে প্রমাণ করুন যে, x+y+z=0

BCS 41st BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

684

Add Explanation

684

(ক)

একটি ভোটকেন্দ্রে উপস্থিত ভোটারদের ৫৫% ভোট পেয়ে একজন প্রার্থী বিজয়ী হয়েছেন। তিনি তাঁর একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা ১১,০০০ ভোট বেশি পেয়েছেন। ভোট কেন্দ্রে কতজন ভোটার উপস্থিত ছিলেন?

BCS 41st BCS Written গণিত শতকরা (Percentage)

উত্তরঃ

ধরি, ভোটকেন্দ্রে উপস্থিত মোট ভোটারের সংখ্যা = $x$ জন

বিজয়ী প্রার্থী ভোট পেয়েছেন = মোট ভোটের ৫৫% = $\frac{৫৫}{১০০} \times x = 0.55x$ জন

পরাজিত প্রার্থী ভোট পেয়েছেন = মোট ভোটের (১০০ - ৫৫)% = ৪৫% = $\frac{৪৫}{১০০} \times x = 0.45x$ জন

প্রশ্নমতে, বিজয়ী প্রার্থী তাঁর একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা ১১,০০০ ভোট বেশি পেয়েছেন।

সুতরাং,

$0.55x - 0.45x = ১১০০০$

$0.10x = ১১০০০$

$x = \frac{১১০০০}{0.10}$

$x = ১১০০০ \times ১০$

$x = ১১০০০০$

সুতরাং, ভোটকেন্দ্রে মোট ১,১০,০০০ জন ভোটার উপস্থিত ছিলেন।

Satt AI

1 week ago

(ক)

{(\frac{p}{q})}^{c} \times {(\frac{q}{r})}^{a} \times {(\frac{r}{p})}^{b} =

কত?

BCS 40th BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

338

Add Explanation

338

(খ)

a = x y^{p - 1}, b = x y^{q - 1}, c = x y^{r - 1}

হলে , প্রমাণ করুন যে,

a^{q + r} b^{r - p} . C^{p - q} = 1

BCS 38th BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

337

Add Explanation

337

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Mathematics

Ratio Table

Related Question

Related Question

Promotion