O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের দুটি জ্যা BD ও EF বৃত্তের অভ্যন্তরে P বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

যেহেতু ABC বৃত্তের কেন্দ্র M এবং A, M 3 B একই সরলরেখায় অবস্থিত। সেহেতু AB ব্যাস।

$\therefore$ ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।

অর্থাৎ ∠ACB = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ = এক সমকোণ = 90°]

$\therefore$ ∠ACB এর মান 90°.

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের দুইটি জ্যা BD ও EF বৃত্তের অভ্যন্তরে P বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। কেন্দ্র O হতে BD ও EF এর উপর লম্বদ্বয় যথাক্রমে OM এবং ON। তাহলে OM ও ON কেন্দ্র থেকে যথাক্রমে BD ও EF জ্যা এর দূরত্ব নির্দেশ করে। OM = ON.

প্রমাণ করতে হবে যে, BD = EF

অঙ্কন :  O, B এবং O, E যোগ করি।

প্রমাণ: ধাপ ১. যেহেতু OM$\perp$BD এবং ON$\perp$EF

সেহেতু ∠OMB = ∠ONE = এক সমকোণ

ধাপ ২. OME ও ONE সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে

অতিভুজ OB = অতিভুজ OE ডিভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধী

OM = ON [দেওয়া আছে]

△ OMB $\equiv$ △ ONE  [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]

$\therefore$ BM = EN

ধাপ ৩.  BM = $\frac{1}{2}$ BD এবং EN = $\frac{1}{2}$ EF । EF [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

ধাপ ৪.  $\frac{1}{2}$ BD = $\frac{1}{2}$ EF [ধাপ (৩) ও ধাপ (৪) হতে]

$\therefore$ BD = EF. (প্রমাণিত)

মনে করি, কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের BD ও EF জ্যাদ্বয় বৃত্তের অভ্যন্তরে P বিন্দুতে মিলিত হয়েছে । O, B ; O, D ; OE এবং O, F যোগ করি।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BOE + ∠DOF = 2∠DPE

অঙ্কন : B, F যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. একই চাপ BE এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠BFE এবং কেন্দ্রস্থ ∠BOE I

∠BFE = $\frac{1}{2}$ ∠BOE [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]

ধাপ ২. একই চাপ DF এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠DBF এবং কেন্দ্রস্থ ∠DOF।

$\therefore$ ∠DBF = $\frac{1}{2}$ ∠DOF [বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

ধাপ ৩. ধাপ (১) ও ধাপ (২) হতে পাই,

∠BFE + ∠DBF=$\frac{1}{2}$ (∠BOE + ∠DOF) [যোগ করে]

বা, ∠BOE + ∠DOF = 2 (∠BFE + ∠DBF)

বা, ∠BOE + ∠DOF = 2 (∠BFP + ∠PBF)

ধাপ ৪. A BPF এর বহিঃস্থ ∠DPF = ∠BFP + ∠PBF [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]

সুতরাং ∠BOE + ∠DOF = 2∠DPF [ধাপ (৩) হতে] (প্রমাণিত)