O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি., PQ = 6 সে.মি. এবং ব্যাস SQ, ∠PSR এর সমদ্বিখন্ডক।

দেওয়া আছে, PQRS বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 5 সে.মি.

$\therefore$ OP=OQ = OS = OR = 5 সে.মি.

$\therefore$ SQ - OS + OQ = (5+5) সে.মি. 10 সে.মি.

এবং P dot Q = 6 সে.মি.

চিত্রে, ∠SPQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে, ∠SPQ = এক সমকোণ।

সুতরাং PQS একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং SQ এর অতিভুজ।

এখন, PQS সমকোণী ত্রিভুজ হতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

$P{S}^2+P{Q}^2=S{Q}^2$

বা, $P{S}^2=S{Q}^2-P{Q}^2$

$={10}^2-6^2$

= 100 - 36

PS = $\sqrt{64}$ = 8

নির্ণেয় PS এর দৈর্ঘ্য 8 সে.মি.।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS  একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ এবং ∠PSR এর সমদ্বিখন্ডক SQ । SQ সরলরেখাটি কেন্দ্র O বিন্দুগামী। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠PSR + ∠PQR = 180° ।

প্রমাণ:

ধাপ ১ : একই চাপ PQR এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠POR = 2 (বৃত্তস্থ ∠PSR) [বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

অর্থাৎ ∠POR =2∠PSR

ধাপ ২: আবার একই চাপ PSR এর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠POR = 2(বৃত্তস্থ ∠PQR)

অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠POR = 2 ∠PQR

এখন, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = 2(∠PSR + ∠PQR)

কিন্তু, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = 4 সমকোণ 360°

2(∠PSR + ∠PQR) = 360°

বা, PSR + PQR = $\frac{360°}{2}$

অতএব ∠PSR + ∠PQR = 180° (প্রমাণিত)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ এবং ∠PSR এর সমদ্বিখন্ডক SQ প্রমাণ করতে হবে যে, PQ = QR ।

প্রমাণ:

ধাপ ১: PQ চাপের উপর দন্ডায়মান  কেন্দ্রস্থ কোণ ∠POQ এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠PSQ ।

$\therefore$ PSQ = $\frac{1}{2}$ ∠POQ [একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]

একইভাবে, QR চাপের ক্ষেত্রে পাই, ∠RSQ = $\frac{1}{2}$ ∠ROQ

ধাপ ২: যেহেতু PSR এর সমদ্বিখণ্ডক SQ

সেহেতু ∠PSQ = ∠RSQ

বা, $\frac{1}{2}$∠POQ  = $\frac{1}{2}$ ∠ROQ

বা, ∠POQ = ∠ROQ

বা, চাপ PQ= চাপ QR [কেন্দ্রস্থ কোণ চাপের সমানুপাতিক]

$\therefore$ PQ QR (প্রমাণিত)