O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি ব্যাস ভিন্ন জ্যা। OP ও OQ যথাক্রমে AB ও CD এর উপর লম্ব।

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি ব্যাস ভিন্ন জ্যা। কেন্দ্র ০ থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি ব্যাস ভিন্ন জ্যা এবং ABCD AB এবং CD জ্যা এর উপর যথাক্রমে OP এবং OQ লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যে, OP = OQ.

অঙ্কন: O, A এবং O, C যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১: OP$\perp$AB ও OQ $\perp$ CD.

সুতরাং AP = BP এবং CQ = DQ. [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

AP =$\frac{1}{2}$ AB এবং $CQ=\frac{1}{2}CD$

ধাপ ২:  কিন্তু AB = CD [কল্পনা]

AP = CQ.

ধাপ ৩ : এখন OAP এবং OCQ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে,

অতিভুজ OA = অতিভুজ OC [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এবং AP = CQ

$\therefore$ $△$OAP $\equiv$ $△$OCQ [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উৎপাদন ]

$\therefore$ OP = OQ. (প্রমাণিত)

মনে করি, ০ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি ব্যাস ভিন্ন জ্যা। OP ও OQ যথাক্রমে AB ও CD এর উপর লম্ব এবং OP > OQ I প্রমাণ করতে হবে যে, AB < CD

অঙ্কনা: OA ও O, C যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ-১: যেহেতু OP $\perp$ AB এবং OQ $\perp$ OD

AP = BP এবং CQ = DQ [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো  জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

$AP =\frac{1}{2} AB$ এবং $CQ =\frac{1}{2} CD$

ধাপ-২: এখন, OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসাধ]

বা, $O{A}^2=O{C}^2$

ধাপ-৩ :  OAP সমকোণী ত্রিভুজে

$O{P}^2+A{P}^2=D{A}^2$ [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ]

বা, $O{P}^2=O{A}^2-A{P}^2$

ধাপ-৪ : OCQ সমকোণী ত্রিভুজে

$O{Q}^2+C{Q}^2=O{C}^2$ [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ]

বা, $O{Q}^2=O{C}^2-C{Q}^2$

বা, $OQ=O{A}^2-C{Q}^2$ [ধাপ (2) হতে]

ধাপ-৫: এখানে, OP > OQ [কল্পনা]

বা, $O{P}^2>O{Q}^2$

বা, $O{A}^2-A{P}^2>O{A}^2-C{Q}^2$ [ ধাপ (৩) ও (৪) হতে ]

বা, $-A{P}^2>-C{Q}^2$

বা, $A{P}^2 <C{Q}^2$

বা, AP < CQ

বা, $\frac{1}{2} AB <\frac{1}{2}CD$ [ধাপ (১) হতে]

$\therefore$ AB < CD (প্রমাণিত)