$P = 0$ হলে $x^5-\frac{1}{x^5}$ এর মান নির্ণয় কর।

প্রশ্নে দেওয়া ধারাটি হলো: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\)। এটি একটি কিউবিক সংখ্যার ধারাবাহিক যোগফল।

আমাদের লক্ষ্য হলো, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) ধারাটির মান নির্ণয় করা, যেখানে \(n = 10\)।

### **সূত্র:**
ধারা \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) এর যোগফল নির্ণয়ের জন্য একটি প্রমাণিত সূত্র রয়েছে:

\[
S = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
\]

এখানে, \(S\) হলো ধারাটির যোগফল এবং \(n\) হলো শেষ সংখ্যাটি।

### **ধারার জন্য প্রয়োগ:**

এখানে \(n = 10\)।

\[
S = \left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2
\]

প্রথমে ভিতরের অংশটি নির্ণয় করি:

\[
\frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55
\]

এখন \(55\) এর বর্গ করি:

\[
S = 55^2 = 3025
\]

 **উত্তর:** তাহলে, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\) এর মান হলো **3025**।

Y= √5-√2
⇨1/y = (√5+√2)/3
⇨3/y= √5+√2
⇨y+3/y= 2√5
y^3+(3/y)^3
= (y+3/y)^3-3y.3/y(y+3/y)
= (2√5)^3- 9(2√5)
=40√5-18√5

= 22√5

দেওয়া আছে, $a^2=5+2\sqrt{6}$

বা, $a^2=3+2\sqrt{6}+2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\sqrt{3}.\sqrt{2}={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2$

বা, $a =\sqrt{3}+\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{a}= \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

বা, $\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{2}}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$

$\therefore \frac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2.}$