P= (৩৬)_৮ এবং Q= (২F)_১৬

সংখ্যা P এবং Q এর মধ্যে গাণিতিক যোগফল করার জন্য আমাদের প্রথমে তাদের ভিত্তিতে (base) সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করতে হবে এবং পরে যোগফল বের করতে হবে।

ধাপ ১: P এবং Q এর রূপান্তর

P = (৩৬)₈ (অষ্টালিক সংখ্যা)

অষ্টালিক সংখ্যা ৩৬ কে দশালিক (decimal) সংখ্যায় রূপান্তর করতে:

\[
P = 3 \times 8^1 + 6 \times 8^0 = 3 \times 8 + 6 \times 1 = 24 + 6 = 30
\]

Q = (২F)₁₆ (ষোলালিক সংখ্যা)

ষোলালিক সংখ্যা ২F কে দশালিক সংখ্যায় রূপান্তর করতে:

\[
Q = 2 \times 16^1 + 15 \times 16^0 = 2 \times 16 + 15 \times 1 = 32 + 15 = 47
\]

ধাপ ২: যোগফল বের করা

এখন আমরা P এবং Q এর যোগফল বের করব:

\[
P + Q = 30 + 47 = 77
\]

ধাপ ৩: ১১ + ১ = ১০০ ব্যাখ্যা

এখন, ১১ + ১ = ১০০ হতে পারে, যদি আমরা এটি বাইনারি (দ্বিখণ্ডিত) সংখ্যা পদ্ধতিতে বিবেচনা করি। বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে:

\[
11_{(2)} = 3_{(10)}
\]
\[
1_{(2)} = 1_{(10)}
\]

তাহলে:

\[
11_{(2)} + 1_{(2)} = 100_{(2)}
\]

অর্থাৎ, বাইনারি সংখ্যায় ১১ যোগ করলে ১০০ পাওয়া যায়।

 উপসংহার

- \( P \) এবং \( Q \) এর যোগফল 77।
- ১১ + ১ বাইনারি সংখ্যায় ১০০ হওয়ার অর্থ হলো, সংখ্যাগুলি বাইনারি পদ্ধতিতে গণনা করা হচ্ছে।

এভাবে, \( ১১ + ১ = ১০০ \) একটি সংখ্যার যোগফল বাইনারি সংখ্যায় দেখানো হয়েছে।

উদ্দীপকে P ও Q সংখ্যা দুটি যথাক্রমে অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতিতে দেওয়া আছে। এদের গুণফলকে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে প্রকাশ করতে হলে প্রথমে P ও Q উভয়কে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করতে হবে।

উদ্দীপক অনুযায়ী, P = \((36)_8\) এবং Q = \((2F)_{16}\)।

P-কে দশমিকে রূপান্তর:

\((36)_8 = 3 \times 8^1 + 6 \times 8^0\)

\(= 3 \times 8 + 6 \times 1\)

\(= 24 + 6\)

\(= (30)_{10}\)

Q-কে দশমিকে রূপান্তর (এখানে F এর দশমিক মান 15):

\((2F)_{16} = 2 \times 16^1 + F \times 16^0\)

\(= 2 \times 16 + 15 \times 1\)

\(= 32 + 15\)

\(= (47)_{10}\)

অতএব, P ও Q এর গুণফলকে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হলো:

\(PQ = 30 \times 47\)

\(= (1410)_{10}\)

সুতরাং, PQ এর মানকে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হয় \((1410)_{10}\)।

ডিজিটাল ডিভাইস বা কম্পিউটার সিস্টেমে বিয়োগ প্রক্রিয়া সরাসরি করা হয় না। এর পরিবর্তে যোগের মাধ্যমে বিয়োগ সম্পন্ন করা হয়, যা 2's complement (২ এর পরিপূরক) পদ্ধতি ব্যবহার করে বাস্তবায়িত হয়। এই পদ্ধতিটি ঋণাত্মক সংখ্যাকে বাইনারিতে উপস্থাপন করে এবং দুটি সংখ্যার বিয়োগকে একটি যোগের সমস্যায় রূপান্তরিত করে, যা হার্ডওয়্যার বাস্তবায়নে সরলতা আনে। প্রদত্ত (P-Q) গাণিতিক প্রক্রিয়াটিও এই 2's complement পদ্ধতিতে যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন করা সম্ভব।

উদ্দীপকে, P এবং Q এর মান ভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতিতে দেওয়া আছে। P=(৩৬)_৮ এবং Q=(২F)_১৬। (P-Q) অপারেশনটি যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন করার জন্য প্রথমে P এবং Q উভয়কে বাইনারি সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে এবং তারপর Q এর 2's complement ব্যবহার করে P এর সাথে যোগ করতে হবে। ৮-বিট রেজিস্টারের জন্য:

    
• P কে অক্টাল থেকে বাইনারিতে রূপান্তর: (৩৬)_৮ = (০১১ ১১০)_২। ৮-বিট রেজিস্টারে \(P = (00011110)_2\)। (কারণ, \(36_8 = 3 \times 8^1 + 6 \times 8^0 = 24 + 6 = 30_{10}\), এবং \(30_{10} = 00011110_2\))
    
• Q কে হেক্সাডেসিমাল থেকে বাইনারিতে রূপান্তর: (২F)_১৬ = (০০১০ ১১১১)_২। ৮-বিট রেজিস্টারে \(Q = (00101111)_2\)। (কারণ, \(2F_{16} = 2 \times 16^1 + 15 \times 16^0 = 32 + 15 = 47_{10}\), এবং \(47_{10} = 00101111_2\))

এখন, (P-Q) নির্ণয়ের জন্য -Q এর 2's complement বের করতে হবে।

Q = \(00101111_2\)

Q এর 1's complement = \(11010000_2\)

Q এর 2's complement = \(11010000_2 + 1_2 = 11010001_2\) (এটি -Q এর বাইনারি রূপ)

এখন P এর সাথে -Q (2's complement) যোগ করে (P-Q) এর ফলাফল পাওয়া যাবে:

    \( \begin{array}{cc}         & 00011110_2 & (P) \\         + & 11010001_2 & (-Q) \\         \hline         & 11101111_2 & (P-Q)     \end{array} \)

ফলাফল \(11101111_2\)। যেহেতু ফলাফলের সবচেয়ে বামদিকের বিটটি (Most Significant Bit - MSB) '১', এর অর্থ হল সংখ্যাটি ঋণাত্মক। এর প্রকৃত মান বের করার জন্য এর 2's complement নিতে হবে:

ফলাফল \(11101111_2\)

1's complement = \(00010000_2\)

2's complement = \(00010000_2 + 1_2 = 00010001_2\)

দশমিকে \(00010001_2 = 16+1 = 17_{10}\)। যেহেতু মূল ফলাফল ঋণাত্মক ছিল, তাই (P-Q) এর মান হবে \(-17_{10}\)। এটি \(30_{10} - 47_{10}\) এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।