$p-1=lo{g}_c\left(ab\right),q-1=lo{g}_a\left(bc\right)$ এবং $r-1=lo{g}_b\left(ca\right)$

এখানে, $f\left(x\right)=lo{g}_{c } (2-x)$

বা, $f\left(x\right)=\ln (2-x)$

এখানে,  $f\left(x\right)$ সংজ্ঞায়িত হবে যদি,$2-x>0$ হয়

বা, 2 > x

ফাংশনটির ডোমেন, $D_f=x\in R : 2>x)=(-\infty ,2)$

দেওয়া আছে,

$p-1=lo{g}_c\left(ab\right)$

বা,  $p=1+lo{g}_c\left(ab\right)=lo{g}_c\left(c\right)+lo{g}_c\left(ab\right)$

$p=lo{g}_c\left(abc\right)$

আবার $q-1=lo{g}_a\left(bc\right)$

বা, $q=1+lo{g}_a\left(bc\right)=lo{g}_a\left(a\right)+lo{g}_a\left(bc\right)$

$q=lo{g}_a\left(abc\right)$

এবং $r-1=lo{g}_b\left(ca\right)$

বা,  $r=1+lo{g}_{b}ca=lo{g}_{b}b+lo{g}_{b}ca$

$\therefore$ $r=lo{g}_{b}abc$

বামপক্ষ= $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1}{{\log }_c\left(abc\right)}+\frac{1}{{\log }_a\left(abc\right)}+\frac{1}{{\log }_b\left(abc\right)}$

$={\log }_{abc}c+{\log }_{abc}a+{\log }_{abc}b$

$={\log }_{abc}abc$

$=1$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=1$ (প্রমাণিত)

'খ' হতে পাই, $q={\log }_{a}abc; q={\log }_a abc$ এবং $r={\log }_b abc$

দেওয়া আছে, $a^2=bc$

প্রমাণ করতে হবে,  $c^{p-q}=b^{q-r}$

বা, $\frac{c^p}{c^q}=\frac{b^q}{b^r}$

বা, $c^p{b}^r=c^q{b}^q$

বা, $c^p{b}^r={\left(bc\right)}^q.......\left(i\right)$

এখন, (i) সমীকরণটি প্রমাণ করাই যথেস্ট,

বামপক্ষ$=c^p{b}^r=c^{{\log }_c\left(abc\right)}.b^{{\log }_b\left(abc\right)}$

$=\left(abc\right) \left(abc\right) = a^2{b}^2{c}^2$

ডানপক্ষ$=(bc{)}^q={\left(a^2\right)}^{{\log }_a\left(abc\right)}$

$={\left(abc\right)}^2 = a^2{b}^2{c}^2$

=বামপক্ষ

$c^p{b}^r={\left(bc\right)}^q$

অর্থাৎ $c^{p-q}=b^{q-r}$