$p^2-q^2=r^3$ হলে প্রমাণ কর যে, $y^3-3ry+2p$

সমীকরণে চলকের বর্গমূল সংবলিত রাশি থাকলে তাকে বর্গ করে বর্গমূল চিহ্নমুক্ত নতুন সমীকরণ পাওয়া যায়। উক্ত সমীকরণ সমাধান করে যে মূলগুলো পাওয়া যায় অনেক সময় সবগুলো মূল প্রদত্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না। এ ধরণের মূল অবান্তর (Extraneous) মূল। সুতরাং মূলচিহ্ন সংবলিত এরূপ একটি উদাহরণ
হলো নিম্নরূপ:

$\sqrt{x}=x-2$

${\left(\sqrt{x}\right)}^2={\left(x-2\right)}^2$

$x=x^2-4x+4$

$x^2-5x+4=0$

$x^2-4x-x+4=0$

$x(x-4)-1(x-4)=0$

$(x-4) (x-1)=0$

$x_1=4, x_2=1$

শুদ্ধি পরীক্ষা: x = 4 হলে,

বামপক্ষ= $\sqrt{4}=2$

ডানপক্ষ= 4-2-2

আবার x = 1 হলে, বামপক্ষ $\sqrt{1}=1$

ডানপক্ষ= 1-2=-1

বামপক্ষ $\ne$ডানপক্ষ

অর্থাৎ, x = 1 একটি অবান্তর মূল।

দেওয়া আছে,

$\sqrt{x-4}-4=0$

$\sqrt{x-4}=4$

${\left(\sqrt{x-4}\right)}^2={\left(4\right)}^2$

$x-4=16$

$x=16+4$

$x=20$

শুদ্ধি পরীক্ষা: x = 20 হলে

বামপক্ষ= $\sqrt{20-4}-4$

$=\sqrt{16-4}$

$=4-4$

$=0$

= ডানপক্ষ।

নির্ণেয় সমাধান: x = 20

প্রদত্ত সমীকরণ,

$$\begin{gathered} \sqrt{x-5}+5=0 \\ \sqrt{x-5}=-5 \end{gathered}$$

যা অসম্ভব কারণ বাস্তব সংখ্যার বর্গমূল ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণটির মূল অবান্তর (যাচাই করা হলো)

প্রদত্ত সমীকরণ, $x^2-1=0$

সমীকরণটিকে $a{x}^2+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a = 1 b = 0 c =- 1$

নির্ণেয় মান: a = 1 b = 0 এবং c = - 1

দেওয়া আছে, $m=x^2-6x$

এখানে,  $\sqrt{m+15}-\sqrt{m+13}=\sqrt{10}-\sqrt{8}$

$\sqrt{x^2-6x+15}-\sqrt{x^2-6x+13}=\sqrt{10}-\sqrt{8}$

$\sqrt{x^2-6x+13+2}-\sqrt{x^2-6x+13}=\sqrt{10}-\sqrt{8}$

$\sqrt{y+2}-\sqrt{y}=\sqrt{10}-\sqrt{8}$ [ধরি, x² - 6x + 13 =y]

$\sqrt{y+2}-\sqrt{8}=\sqrt{y}+\sqrt{10}$

${\left(\sqrt{y+2}-\sqrt{8}\right)}^2={\left(\sqrt{y}+\sqrt{10}\right)}^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

$y+2+2.\sqrt{y}+2.\sqrt{8}+8=y+2.\sqrt{y}.\sqrt{10}+10$

$y+2+2.\sqrt{8y+16}=y+2.\sqrt{10y}+10$

$2 \sqrt{8y+16}= 2\sqrt{10y}$

${\left(\sqrt{8y+16}\right)}^2= {\left(\sqrt{10y}\right)}^2$ [বর্গ করে]

$8y+16 =10y$

$10y - 8y = 16$

$2y = 16$

$y = 8$

$x^2-6x+13-8=0$   [y এর মান বসিয়ে]

$x^2-6x+5=0$

$x^2-5x-x+5=0$

$x(x - 5) - (x - 5) = 0$

$(x - 1)(x - 5) = 0$

হয়, $x - 1 = 0$

$x = 1$

অথবা,  $x - 5 = 0$

$x=5$

নির্ণেয় সমাধান, x = 1, 5

দেওয়া আছে, $m=x²-6x$

m=7 হলে  $7 = x²-6x$  বা  $x²-6x-7=0$

ধরি,  $y=x²-6x-7......... \left(i\right)$

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে (1) নং সমীকরণের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:

ছক কাগজের x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের 2 ঘরের দৈর্ঘ্যকে। একক ধরে এবং y অক্ষ বরাবর প্রতি। ঘরের দৈর্ঘ্যকে। একক ধরে উপরের সারণিতে স্থাপিত বিন্দুগুলো স্থাপন করে (i) নং সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করি।

দেখা যায় যে, লেখচিত্রটি x অক্ষকে (-1, 0) ও (7, 0) বিন্দুতে ছেদ করেছে।

সুতরাং (i) নং এর সমাধান x = - 1, x = 7.