P,Qও R তিনটি সুরশলাকা একটি নির্দিষ্ট মাধ্যমে রাখা হলো। P সুরশলাকার 4টি পূর্ণ তরঙ্গদৈর্ঘ্য Q-এর চটি পূর্ণ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সমান। তাদের মধ্যে কম্পাঙ্কের পার্থক্য 60 Hz, কিন্তু R সুরশলাকা দ্বারা সৃষ্ট অগ্রগামীতরঙ্গের সমীকরণ Y = 0.2 sin 2π $\left(100t-\frac{x}{15}\right)m$।

কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত পর্যায়বৃত্ত বাহ্যিক বলের কম্পাঙ্ক বস্তুর নিজস্ব স্বাভাবিক কম্পাঙ্কের সমান হলে বস্তুটি সর্বাধিক বিস্তারে কম্পিত হতে থাকে, এই ঘটনাকে অনুনাদ বলে।

যে শব্দ নিয়মিত, পর্যায়বৃত্ত ও সুশৃঙ্খল উৎস থেকে উৎপন্ন হয় এবং শুনতে শ্রুতিমধুর লাগে, তাকে সঙ্গীতগুণসম্পন্ন শব্দ বলে। এ ধরনের শব্দ মানুষের স্নায়ুকে শান্ত করে মনে প্রশান্তি সৃষ্টি করে এবং মানসিক ও শারীরিকভাবে নিরাপদে রাখে।

সঙ্গীতগুণসম্পন্ন শব্দের ক্ষেত্রে শব্দতরঙ্গের কম্পাঙ্ক, বিস্তার ও তীব্রতা একটি নির্দিষ্ট ও সুষম পর্যায়ক্রম মেনে চলে। ফলে এটি কানের পর্দায় সুষম ও মৃদু আন্দোলন সৃষ্টি করে যা মস্তিষ্কে কোনো বিরূপ চাপ বা অস্বস্তি তৈরি করে না, বরং আনন্দের অনুভূতি জোগায়। সুরবর্জিত বা তীব্র কোলাহলপূর্ণ শব্দ মানুষের মানসিক চাপ ও রক্তচাপ বাড়ায় এবং দীর্ঘমেয়াদে শ্রবণশক্তির ক্ষতি সাধন করে; কিন্তু সঙ্গীতগুণসম্পন্ন শব্দ মানুষের মানসিক উৎকণ্ঠা দূর করে মনকে শান্ত রাখে এবং শ্রবণতন্ত্রকে ক্ষতিকর প্রভাব থেকে মুক্ত রেখে নিরাপদে রাখে।

উদ্দীপক অনুসারে, R সুরশলাকা দ্বারা সৃষ্ট অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ:

\(Y = 0.2 \sin 2\pi \left(100t - \frac{x}{15}\right)\)

অগ্রগামী তরঙ্গের আদর্শ সমীকরণ \(y = A \sin 2\pi \left(ft - \frac{x}{\lambda}\right)\)-এর সাথে তুলনা করে পাই,

R সুরশলাকার কম্পাঙ্ক, \(f_R = 100\text{ Hz}\)

তরঙ্গদৈর্ঘ্য, \(\lambda_R = 15\text{ m}\)

অতএব, উক্ত মাধ্যমে শব্দের বেগ,

\(v = f_R \times \lambda_R = 100 \times 15 = 1500\text{ ms}^{-1}\)

যেহেতু P, Q ও R সুরশলাকা তিনটি একই মাধ্যমে অবস্থিত, তাই P ও Q এর ক্ষেত্রেও শব্দের বেগ একই থাকবে।

প্রশ্নমতে, P-এর 4টি পূর্ণ তরঙ্গদৈর্ঘ্য Q-এর 5টি পূর্ণ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সমান।

\(4\lambda_P = 5\lambda_Q\)

\(\implies 4 \times \frac{v}{f_P} = 5 \times \frac{v}{f_Q}\)

\(\implies \frac{4}{f_P} = \frac{5}{f_Q}\)

\(\implies f_Q = \frac{5}{4} f_P = 1.25 f_P\)

যেহেতু \(f_Q > f_P\), তাই তাদের কম্পাঙ্কের পার্থক্য:

\(f_Q - f_P = 60\text{ Hz}\)

\(\implies 1.25 f_P - f_P = 60\)

\(\implies 0.25 f_P = 60\)

\(\implies f_P = \frac{60}{0.25} = 240\text{ Hz}\)

অতএব, Q সুরশলাকার কম্পাঙ্ক,

\(f_Q = 240 + 60 = 300\text{ Hz}\)

উত্তর: P সুরশলাকার কম্পাঙ্ক \(240\text{ Hz}\) এবং Q সুরশলাকার কম্পাঙ্ক \(300\text{ Hz}\)।

পদক্ষেপ: R সুরশলাকা দ্বারা সৃষ্ট অগ্রগামী তরঙ্গের গতিপথে একটি প্রতিফলক মাধ্যম (বা সুদৃঢ় বাধা) স্থাপন করতে হবে, যাতে তরঙ্গটি বিপরীত দিকে প্রতিফলিত হয়ে একই বিস্তার, কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গদৈর্ঘ্য নিয়ে মূল তরঙ্গের ওপর উপরিপাতিত হতে পারে। অথবা, একই বিস্তার, কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গদৈর্ঘ্যবিশিষ্ট অপর একটি অগ্রগামী তরঙ্গকে বিপরীত দিক থেকে একই সরলরেখা বরাবর চালনা করতে হবে।

গাণিতিক বিশ্লেষণ:

উদ্দীপক অনুসারে, R সুরশলাকা দ্বারা সৃষ্ট ধনাত্মক \(x\)-অক্ষ বরাবর চলমান অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ: \[Y_1 = 0.2 \sin 2\pi \left(100t - \frac{x}{15}\right)\]

স্থির তরঙ্গ সৃষ্টির জন্য সমান বিস্তার (\(A = 0.2\text{ m}\)), সমান কম্পাঙ্ক (\(f = 100\text{ Hz}\)) এবং সমান তরঙ্গদৈর্ঘ্য (\(\lambda = 15\text{ m}\)) বিশিষ্ট একটি তরঙ্গকে ঋণাত্মক \(x\)-অক্ষ বরাবর (বিপরীত অভিমুখে) সঞ্চালিত করতে হবে।

উক্ত বিপরীতমুখী তরঙ্গের সমীকরণ হবে: \[Y_2 = 0.2 \sin 2\pi \left(100t + \frac{x}{15}\right)\]

তরঙ্গ দুটি একই সরলরেখায় উপরিপাতিত হলে উপরিপাতন নীতি অনুযায়ী লব্ধি তরঙ্গের সরণ হবে: \[Y = Y_1 + Y_2\] \[Y = 0.2 \sin 2\pi \left(100t - \frac{x}{15}\right) + 0.2 \sin 2\pi \left(100t + \frac{x}{15}\right)\]

ত্রিকোণমিতিক সূত্র \(\sin C + \sin D = 2 \sin\left(\frac{C+D}{2}\right) \cos\left(\frac{C-D}{2}\right)\) প্রয়োগ করে পাই: \[Y = 0.2 \times 2 \sin\left[\frac{2\pi(200t)}{2}\right] \cos\left[\frac{-2\pi\left(\frac{2x}{15}\right)}{2}\right]\] \[Y = 0.4 \cos\left(\frac{2\pi x}{15}\right) \sin(200\pi t)\]

এখানে লব্ধি বিস্তার \(A' = 0.4 \cos\left(\frac{2\pi x}{15}\right)\) বসালে সমীকরণটি দাঁড়ায়: \[Y = A' \sin(200\pi t)\]

সিদ্ধান্ত: প্রাপ্ত সমীকরণটি একটি স্থির তরঙ্গের আদর্শ সমীকরণ নির্দেশ করে, যেখানে সরণ স্থান \(x\)-এর ওপর নির্ভর করে এবং পর্যায়ক্রমে সুস্পন্দ ও নিস্পন্দ বিন্দু তৈরি হয়। অতএব, R সুরশলাকার তরঙ্গের বিপরীত অভিমুখে একই বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন তরঙ্গ উপরিপাতিত করলে স্থির তরঙ্গ পাওয়া যাবে।