△PQR এর ∠P এর সমদ্বিখন্ডক PS . QR - কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে। SP এর সমান্তরাল RT রেখাংশ বর্ধিত QP-কে I বিন্দুতে ছেদ করেছে।

মনে করি, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC ও DEF এর উচ্চতা যথাক্রমে AP = h , DQ = k এবং উভয়ক্ষেত্রের ভূমি b ।

সুতরাং ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ b$\times$h,

ত্রিভুজক্ষেত্র DEF এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$b$\times$k

অতএব, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল : ত্রিভুজক্ষেত্র DEF এর

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ b$\times$h : $\frac{1}{2}$b$\times$k = h : k = AP : DQ

সুতরাং দুইটি ত্রিভুজের ভূমি সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল ও উচ্চতার সমানুপাতিক। (দেখানো হলো)

মনে করি, △ PQR এর ∠P এর সমদ্বিখন্ডক PS . QR কে S বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, QS : SR = PQ : PR.

প্রমাণ:

ধাপ ১ : যেহেতু SP || RT এবং QR ও PR তাদের ছেদক [অঙ্কনানুসারে]

∠PRT = ∠RPS [অনুরূপ কোণ]

এবং ∠PTR = ∠QPS [একান্তর কোণ]

ধাপ ২; কিন্তু ∠QPS = ∠RPS [স্বীকার]

$\therefore$ ∠PTR = ∠PRT

$\therefore$ PR = PT

ধাপ ২: আবার যেহেতু SP || RT

$\therefore$  $\frac{QS}{SR}=\frac{QR}{PT}$ [ধাপ (২) হতে]

কিন্তু PT = PR

$\therefore$ $\frac{QS}{SR}=\frac{PQ}{PR}$

অর্থাৎ, QS : SR = PQ : PR. (প্রমাণিত)

মনে করি, △PQR এর ∠P এর সমদ্বিখন্ডক PS, QR কে S বিন্দুতে ছেদ করে। QR এর সমান্তরাল MN রেখাংশ PQ ও PR রেখাংশকে যথাক্রমে M ওN বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, QS : SR - QM : RN.

প্রমাণ:

ধাপ ১: △ PQR-এ, ∠P এর সমদ্বিখণ্ডক PS, QR কে S বিন্দুতে ছেদ করে।

QS : SR = PQ : PR [খ হতে প্রাপ্ত]

বা, $\frac{OS}{SR}=\frac{PQ}{PR}$

ধাপ ২: QR || MN হওয়ায়,  $\frac{PM}{QM}=\frac{PN}{RN}$  [ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল রেখাংশ অপর দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।]

বা, $\frac{PM+QM}{QM}$= $\frac{PN+RN}{RN}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{PQ}{QM}=\frac{PR}{RN}$

বা, $\frac{PQ}{PR}=\frac{QM}{RN}$

ধাপ ৩ : $\frac{QS}{SR}=\frac{QM}{RN}$  [ধাপ (১) ও (২) হতে]

QS : SR = MQ : NR. (প্রমাণিত)