△PQR এর PA এবং QB মধ্যমান্বয় পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করেছে। G বিন্দুর মধ্য দিয়ে অঙ্কিত AB এর সমান্তরাল রেখাংশ PR কে C বিন্দুতে ছেদ করেছে।

যেকোনো রশ্মি DG থেকে DE 7 সে.মি. নেই। D বিন্দুতে যেকোনো কোণ ∠EDX আঁকি। DX হতে DA = 2 সে.মি. এবং AX হতে AB = 3 সে.মি. কেটে নিই। E . B যোগ করি।

A বিন্দুতে ∠DAM = ∠DBE আঁকি যার AM রেখা DE কে M বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে DE রেখাংশ M বিন্দুতে 2 : 3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হলো।

এখানে, △PQR এ PA মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ + PR > 2PA.

অঙ্কন: PA কে পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন PA = SA হয়। R, S যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. △PQA ও △RSA এ,

PA = SA [অঙ্কন অনুসারে]

QA = RA [PA মধ্যমা]

∠PAQ = ∠RAS [বিপ্রতীপ কোণ]

△PQA $\equiv$ △RSA [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

$\therefore$ PQ = RS

ধাপ ২. △PRS-এ,

PR + RS > PS [ত্রিভুজের দুই বাহুর সমস্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা,  PR + PQ  > PA + SA  [PS = PA + SA]

বা, PR+ PQ > PA + PA

বা, PQ + PR > 2PA

বা, PA <$\frac{1}{2}$ (PQ + PR). (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, △PQR-এ PA ও QB মধ্যমান্বয় পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করেছে। G বিন্দুর মধ্যদিয়ে অঙ্কিত AB এর সমান্তরাল রেখাংশ GC, PR কে C বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে যে, BC : PR - 1 : 6.

প্রমাণ: △PAB-এ, AB || GC

$\frac{PG}{AG}=\frac{PC}{BC}$

বা, $\frac{2AG}{AG}= \frac{PC}{BC}$ [মধ্যমান্বয় এদের ছেদবিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়]

বা, $2 = \frac{PC}{BC}$

$\therefore$ PC = 2BC

$\therefore$ PB = PC + BC = 2BC + BC = 3BC

আবার, PR = 2PB  [B, PR এর মধ্যবিন্দু]

= 2 $\times$ 3BC = 6BC

বা, $\frac{BC}{PR}= \frac{1}{6}$

$\therefore$ BC : PR = 1 : 6. (দেখানো হলো)