△ PQR এর ∠Q = এক সমকোণ এবং PR বাহুর মধ্যবিন্দু M.

এখানে, △ PQR এ. ∠Q = এক সমকোণ, PR = 10 সে.মি. এবং QR = ৪ সে.মি.।

PQR সমকোণী ত্রিভুজে,

$P{Q}^2 + Q{R}^2 = P{R}^2$  [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]

বা, $P{Q}^2+8^2 = {\left(10\right)}^2$

বা, $P{Q}^2+64=100$

বা, $P{Q}^2=100-64=36$

বা, $PQ=\sqrt{36}=6$ সে.মি.

$\therefore$ PQ এর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি.।

মনে করি, △ PQR এ ∠Q = এক সমকোণ, PQ ও QR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Mও NI  M, N যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, M ও N এর সংযোজক রেখাংশ MN এর দৈর্ঘ্য, PR এর দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের সমান অর্থাৎ MN = $\frac{1}{2}$ PR.

অঙ্কন: MN কে T পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন MN = NT হয়। T এবং R যোগ করি।

প্রমাণ: ধাপ ১: ∆QMN ও A TNR-এ,

QN=NR [দেওয়া আছে]

MN = NT [অঙ্কনানুসারে]

∠MNQ = ∠RNT [বিপ্রতীপ কোণ]

$\therefore$ △ QMN $\equiv$ △ TNR [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

$\therefore$ QM = RT

আবার, ∠QMN = ∠RTN এবং ∠NQM = ∠NRT [একান্তর কোণ]

$\therefore$ QM || RT বা QP || RT

আবার; PM = QM = RT

এবং PM || RT

সুতরাং PMTR একটি সামান্তরিক।

ধাপ ২: আবার, MT = PR

বা, MN + NT = PR  [MT = MN + NT]

বা, MN + MN = PR [NT=MN]

বা, 2MN = PR

$\therefore$MN = $\frac{1}{2}$ PR. (প্রমাণিত)

মনে করি, △ PQR-এ ∠Q = এক সমকোণ এবং PR বাহুর মধ্যবিন্দু M। Q, M যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে, যে, QM = MR = PM.

অঙ্কন: PQ এর মধ্যবিন্দু E নিই। E, M যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১: PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও M।

$\therefore$PE = QE এবং PM = MR

E ও M এর সংযোজক রেখাংশ EM।

$\therefore$ EM || QR [ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ]

যেহেতু QR $\perp$ PQ সেহেতু EM $\perp$ PQ

△ PEM ও △QEM উভয় সমকোণী ত্রিভুজ।

ধাপ ২: △PEM ও △QEM এ PE = QE [ধাপ (১) হতে]

∠PEM = ∠QEM [উভয়ে সমকোণ]

এবং EM = EM [সাধারণ বাহু]

$\therefore$ △ PEM $\equiv$△ QEM [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

$\therefore$ PM = QM

$\therefore$ QM = MR = PM

অতএব, QM = MR = PM [ধাপ (১) হতে] (প্রমাণিত)