△ PQR এ PE, QF ও RG মধ্যমা তিনটি M বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

মনে করি, A ও B দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং PQ একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা। এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যা A ও B বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার কেন্দ্র PQ সরলরেখার উপর অবস্থিত।

মনে করি, $△$PQR এর PE মধ্যমা QR বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $P{Q}^2+P{R}^2 = 2 \left(P{E}^2+ Q{E}^2\right)$

অঙ্কন: QR বাহুর উপর PD লম্ব অঙ্কন করি।

প্রমাণ: $△$PER এর ∠PER স্থূলকোণ এবং RE রেখার উপর PE এর লম্ব অভিক্ষেপ DE।

স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই $P{R}^2=P{E}^2+R{E}^2+2RE.DE$  ________ (ii)

আবার, $△$PQE এর ∠PEQ সূক্ষ্মকোণ এবং QE রেখার উপর PE এর লম্ব অভিক্ষেপ DE।

সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

$P{Q}^2=P{E}^2+Q{E}^2-2QE.DE$ ________ (ii)

এখন, (i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

$P{R}^2+P{Q}^2 = P{E}^2+R{E}^2+2RE.DE+P{E}^2+Q{E}^2-2QE.DE$

$=2P{E}^2+Q{E}^2+2QE.DE+Q{E}^2-2QE.DE$

$= 2P{E}^2 + 2Q{E}^2$

$\therefore$ $P{Q}^2+P{R}^2=2(P{E}^2+Q{E}^2)$ (প্রমাণিত)

মনে করি, △PQR -এ PE, QF ও RG মধ্যমা তিনটি পরস্পর M বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করেছে এবং ∠PQR = এক সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, $2\left(P{E}^2+Q{F}^2+R{G}^2\right)=3P{R}^2$

প্রমাণ: মনে করি, QR = a, PR = b, PQ = c

এবং PE = d, QF = c, RG = f

△PQR এর PE একটি মধ্যমা

$P{R}^2+P{Q}^2=2\left(P{E}^2+Q{E}^2\right)$ [এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে]

বা, $b^2+c^2=2 \left\{d^2+{\left(\frac{1}{2^a}\right)}^2\right\}$

$=2d^2+2\times \frac{t}{4}{a}^2=2d^2+\frac{1}{2}{a}^2$

বা, $2(b^2+c^2)=4d^2+a^2$

বা, $4d^2= 2(b^2+c^2)-a^2$

$\therefore$ $d^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}$ ___________ (i)

অনুরূপভাবে, $e^2=\frac{2(c^2+u^2)-b^2}{4}$ ______ (ii)

এবং $f^{2 }=\frac{2\left(a^2+ b^2\right)-c^2}{4}$ _______ (iii)

(i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$d^2+e^2+f^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}+\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}+\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$

বা, $4(d^2+c^2+f^2)=2b^2+2c^2-a^2+2c^2+2a^2-b^2+2a^2+2b^2-c^2$

বা, $4(d^2+c^2+f^2)=3(a^2+b^2+c^2)$

বা, $4\left(P{E}^2+Q{F}^2+R{G}^2\right)=3\left(P{R}^2+P{Q}^2+Q{R}^2\right)$  ________ (iv)

আবার, যেহেতু ∠PQR = এক সমকোণ এবং অতিভুজ = PR

$\therefore$ $P{R}^2=P{Q}^2+Q{R}^2$ ______ (v)

এখন, (iv) ও (v) নং হতে পাই,

$4\left(P{E}^2+Q{F}^2+R{G}^2\right)=3\left(P{R}^2+P{R}^2\right)$

বা, $4(P{E}^2+Q{F}^2+R{G}^2)=3\times 2P{R}^2$

বা, $4\left(P{E}^2+Q{F}^2+R{G}^2\right)=6P{R}^2$

$\therefore$ $2\left(P{E}^2+Q{F}^2+R{G}^2\right)=3P{R}^2$ (প্রমাণিত)