△PQR ও △ABC দুইটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ।

AB রেখাংশকে D বিন্দুতে 3 : 2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করা হলো।

মনে করি, PQR ও ABC সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের ∠P = ∠A, ∠Q = ∠B এবং ∠R = ∠C.

প্রমাণ কর যে, $\frac{PQ}{AB}=\frac{QR}{BC}=\frac{PR}{AC}$

অঙ্কন : PQR ও ABC ত্রিভুজদ্বয়ের প্রত্যেক অনুরূপ বাহুযুগল অসমান বিবেচনা করি। PQ বাহুতে E বিন্দু এবং PR বাহুতে F বিন্দু নিই যেন PE = AB এবং PF = AC হয়। E, F যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপ ১: △PEF ও △ABC এর PE = AB, PF= AC, ∠P = ∠A

অতএব, △PEF $\equiv$△ABC [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা]

সুতরাং, ∠PEF = ∠ABC = ∠PQR

এবং ∠PFE = ∠ACB = ∠PRQ

অর্থাৎ, EF রেখাংশ ও QR বাহুকে, PQ বাহু ও PR-রেখা ছেদ করায় অনুরূপ কোণযুগল সমান হয়েছে।

সুতরাং EF || QR

$\frac{PQ}{PE}=\frac{PR}{PF}$

বা, $\frac{PQ}{AB}=\frac{PR}{AC}$

ধাপ ২ : একইভাবে QP বাহু ও QR বাহু থেকে যথাক্রমে BA রেখাংশ ও BC রেখাংশের সমান রেখাংশ কেটে নিয়ে দেখানো যায় যে,

$\frac{PQ}{AB}=\frac{QR}{BC}$

$\frac{PQ}{AB}=\frac{PR}{AC}=\frac{QR}{BC}$

অর্থাৎ $\frac{PQ}{AB}=\frac{PR}{AC}=\frac{QR}{BC}$ (প্রমাণিত)

মনে করি, △PQR ও △ABC ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ এবং তাদের দুইটি অনুরূপ বাহু QR ও BC । প্রমাণ করতে হবে যে, $\frac{△POR}{△ABC}=\frac{Q{R}^2}{B{C}^2}=\frac{P{R}^2}{A{C}^2}=\frac{P{Q}^2}{A{B}^2}$

প্রমাণ: ধাপ ১: △PQR = $\frac{1}{2}QR \times PM$ [ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =  $\frac{1}{2}\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা]

এবং △ABC = $\frac{1}{2} BC \times AN$  [ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা]

$\frac{△PQR}{△ABC}=\frac{\frac{1}{2}QR \times PM}{\frac{1}{2} BC \times AN}=\frac{QR \times PM}{BC \times AN}$

ধাপ ২ : △PQM এবং △ABN ত্রিভুজদ্বয়ের

∠Q = ∠B  [△PQR ও △ABC সদৃশ]

∠PMQ = ∠ANB [প্রত্যেকে এক সমকোণ]

△PQM ও △ABN সদৃশকোণী, তাই সদৃশ।

ধাপ ৩ : $\frac{PM}{AN}=\frac{PQ}{AB}=\frac{QR}{BC}$ [△PQR ও △ABC সদৃশ]

$\therefore$ $\frac{△PQR}{△ABC}=\frac{QR}{BC}\times \frac{QR}{BC}=\frac{Q{R}^2}{B{C}^2}$

ধাপ ৪ :  $\frac{PQ}{AB}=\frac{PR}{AC}=\frac{QR}{BC}$ [△PQR ও △ABC ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ]

বা, $\frac{P{Q}^2}{A{B}^2}=\frac{P{R}^2}{A{C}^2}=\frac{Q{R}^2}{B{C}^2}$

$\therefore$ $\frac{△POR}{△ABC}=\frac{Q{R}^2}{B{C}^2}=\frac{P{R}^2}{A{C}^2}=\frac{P{Q}^2}{A{B}^2}$ [ধাপ (৩) হতে] (প্রমাণিত)