রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

প্রমাণ:

দেওয়া আছে: ΔABC-এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।

প্রমাণ করতে হবে যে: PQ || BC এবং PQ = \(\frac{1}{2}\) BC।

অঙ্কন: PQ-কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন PQ = QD হয়। D, C যোগ করি।

প্রমাণ:

১. ΔAPQ এবং ΔCDQ-এর মধ্যে,

    
• AQ = QC (যেহেতু Q, AC-এর মধ্যবিন্দু)
    
• ∠AQ P = ∠CQ D (বিপ্রতীপ কোণ)
    
• PQ = QD (অঙ্কন অনুসারে)
    
• সুতরাং, ΔAPQ ≅ ΔCDQ (সর্বসমতার SAS উপপাদ্য অনুসারে)

২. সর্বসমতার শর্তানুসারে,

    
• AP = CD
    
• এবং ∠PAQ = ∠QCD

৩. যেহেতু P, AB-এর মধ্যবিন্দু, সুতরাং AP = PB।

আমরা পেয়েছি AP = CD, অতএব PB = CD।

৪. ∠PAQ এবং ∠QCD একান্তর কোণ এবং এরা পরস্পর সমান।

সুতরাং, AB || DC।

অতএব, PB || DC।

৫. এখন, চতুর্ভুজ BCPD-এর মধ্যে,

    
• PB || DC (৪ নং ধাপ হতে)
    
• PB = CD (৩ নং ধাপ হতে)

যেহেতু চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল, তাই BCPD একটি সামান্তরিক।

৬. সামান্তরিক BCPD-এর বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও সমান।

    
• অতএব, PD || BC
    
• এবং PD = BC

৭. যেহেতু PD || BC এবং PQ, PD-এর একটি অংশ,

সুতরাং, PQ || BC (প্রমাণিত)।

৮. আবার, PD = BC এবং অঙ্কন অনুসারে PQ = QD।

অতএব, PD = PQ + QD = PQ + PQ = 2PQ।

সুতরাং, 2PQ = BC।

অর্থাৎ, PQ = \(\frac{1}{2}\) BC (প্রমাণিত)।

সমান সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট দুইটি বহুভুজের একটির কোণগুলো যদি ধারাবাহিকভাবে অপরটির কোণগুলোর সমান হয় তবে বহুভুজ দুইটিকে সদৃশকোণী বলা হয়।

চিত্রে, ABCD আয়ত ও EFGH বর্গ সদৃশকোণী। কারণ উভয়ের বাহু 4টি এবং কোণগুলো সমান অর্থাৎ সমকোণ।

সমান সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট দুইটি বহুভুজের একটি শীর্ষ বিন্দুগুলোকে যদি ধারাবাহিকভাবে অপরটির শীর্ষবিন্দুগুলোর সাথে এমনভাবে মিল করা যায় যে, বহুভুজ দুইটির অনুরূপ কোণগুলো সমান হয় এবং অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাতগুলো সমান হয়, তবে বহুভুজ দুইটিকে সদৃশ বহুভুজ বলা হয়।