$f (x) = \frac{x - 3}{2 x - 4}$ , $x \neq 2$ এবং $P (x) = \frac{3 x^{3}}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)}$

P(x) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

Created: 1 year ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

324

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

$P (x) = \frac{3 x^{3}}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)}$

এখানে, লবের ঘাত (৩) হরের ঘাত (৩) এর সমান। সুতরাং এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। প্রথমে এটি মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে।

হরের গুণফল: $(x - 2) (x - 3) (x - 4) = (x^{2} - 3 x - 2 x + 6) (x - 4) = (x^{2} - 5 x + 6) (x - 4)$
$= x^{3} - 4 x^{2} - 5 x^{2} + 20 x + 6 x - 24 = x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$

এখন, $\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24} = 3 + \frac{27 x^{2} - 78 x + 72}{x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24}$
$= 3 + \frac{27 x^{2} - 78 x + 72}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)}$

ধরি, $\frac{27 x^{2} - 78 x + 72}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x - 4} \dots (i)$

(i) নং এর উভয় পক্ষকে $(x - 2) (x - 3) (x - 4)$ দ্বারা গুণ করে পাই, $27 x^{2} - 78 x + 72 = A (x - 3) (x - 4) + B (x - 2) (x - 4) + C (x - 2) (x - 3) \dots (i i)$

(ii) নং সমীকরণে $x = 2$ বসিয়ে পাই, $27 (2)^{2} - 78 (2) + 72 = A (2 - 3) (2 - 4) + B (0) + C (0)$
$27 (4) - 156 + 72 = A (- 1) (- 2)$
$108 - 156 + 72 = 2 A$
$24 = 2 A$
$A = 12$

(ii) নং সমীকরণে $x = 3$ বসিয়ে পাই, $27 (3)^{2} - 78 (3) + 72 = A (0) + B (3 - 2) (3 - 4) + C (0)$
$27 (9) - 234 + 72 = B (1) (- 1)$
$243 - 234 + 72 = - B$
$81 = - B$
$B = - 81$

(ii) নং সমীকরণে $x = 4$ বসিয়ে পাই, $27 (4)^{2} - 78 (4) + 72 = A (0) + B (0) + C (4 - 2) (4 - 3)$
$27 (16) - 312 + 72 = C (2) (1)$
$432 - 312 + 72 = 2 C$
$192 = 2 C$
$C = 96$

A, B এবং C এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $\frac{27 x^{2} - 78 x + 72}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)} = \frac{12}{x - 2} + \frac{- 81}{x - 3} + \frac{96}{x - 4}$
$= \frac{12}{x - 2} - \frac{81}{x - 3} + \frac{96}{x - 4}$